BZOJ1053 [HAOI2007]反素数ant 数论
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题目描述
对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？
（1<=N<=2,000,000,000）
题解
对于任何一个数 $p$ ，令 $p=\\prod_\\limits{i\\in \\{prime\\} } i^{q_i}$ ，则总有 $ g(p)=\\prod_\\limits{i\\in \\{prime\\} } (q_i+1)$ 。
命题1：如果 $p$ 是一个反素数，那么必然满足 $\\forall i,j\\in\\{prime\\} $ 如果 $i<j$ ，则 $q_i\\geq q_j$ 。
我们可以简单的证明这一点。即：若 $q_i<q_j$ 则 $i^{q_i}j^{q_j}\\geq i^{q_j}j^{q_i}$ ，所以至少存在一个数 $q^\\prime$ ，在满足 $g(q)=g(q^\\prime)$ 的情况下，使得 $q^\\prime < q$ 。这与之前 “$q$ 是反素数” 的定义相悖，所以命题1 得证。
但是，可以见得，上述命题虽然具有充分性，但是不具有必要性。
譬如：
$a=2^13^15^1$
$b=2^35^1$
它们的因数个数都是 $8$ 。
由于我们在证明了命题1 之后，很容易发现可能的反素数非常少。所以我们只要暴搜就可以了。
建议判掉类似于上面举的例子的这种情况。
代码
#include <cstring> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cmath> using namespace std; typedef long long LL; const LL prime[11]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}; LL n,ans,cnt; void dfs(LL times,int pos,int ysz,int maxv){ if (ysz>cnt) ans=times,cnt=ysz; else if (ysz==cnt&×<ans) ans=times,cnt=ysz; for (int i=1;i<=maxv;i++){ times*=prime[pos]; if (times>n) return; dfs(times,pos+1,ysz*(i+1),i); } } int main(){ scanf("%d",&n); ans=cnt=0; dfs(1,0,1,33); printf("%lld",ans); return 0; }
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