3.31模拟赛T3题解

Posted 2022-04-04 Flame♡

（由于种种原因所以没得题面qwq）

在字符集的大小为S的情况下，给定一个长度为n的串T，然后构造一个串a，每次等概率从S中取出一个字符放进a中，T出现的频率为$\frac{1}{s^n}$

为什么对于重叠的情况，这个也是成立的呢，是因为期望的可加性并不要求随机变量之间相互独立

倒不如说，如果不允许重叠，这个结论会变得不成立

比如字符集为a，考虑生成了串aaaa… ，T是aa

如果不允许重叠的话，频率为$trac12$,但允许重叠的话，频率是1

我们知道，第二种才是对的

所以我们得到了第一个结论

接着，将多次实验串拼接后，设 $p1$ 为 实验串的结尾，$p2$ 为不包括 $p1$ 的T串的结尾

那么也就是说 $p1+p2=\frac{1}{s^n}$ ①

那么考虑什么位置会得到$p2$

(这里少一张图 回来补)

那么，$p2=p1\ast (\frac{1}{s^{n-nex[x]}}+\frac{1}{s^{n-nex[nex[x]]}}+....)$ ②

(注意 因为不能多一个完整的串 所以$nex[...]$不能=0)

那么，将①带入②

得到
$$\frac{1}{s^n}-p1=p1\ast (\frac{1}{s^{n-nex[x]}}+\frac{1}{s^{n-nex[nex[x]]}}+....)$$

移项之后得到
$$\frac{1}{s^n\ast (1+\frac{1}{s^{n-nex[x]}}+\frac{1}{s^{n-nex[nex[x]]}}+....)}=p1$$

$$s^n\ast (1+\frac{1}{s^{n-nex[x]}}+\frac{1}{s^{n-nex[nex[x]]}}+....)=\frac{1}{p1}$$

$$s^n+s^{nex[x]}+s^{nex[nex[x]]}+....=\frac{1}{p1}$$

那么$\frac{1}{p}$ 是什么呢！

频率 $p$ 的含义是：对于每一个字符，串S的出现次数

那么它的倒数，就是出现一个完整串$S$ 的期望！

所以我们可以处理出一个$E(i)$ 表示从任何字符都没有到出现 $i$ 这个前缀的期望步数

它的朴素转移为：$E(i+1)=E(i)+\sum \frac{E(i+1)-E(F(i,c))+1}{m}$ (我没有写代码验证，但我感觉原题解写的不对，这是我自己修正的)

那么，根据上面的性质，$E(i)=E(nex[i])+m^i$

E即为所求