$CSP$ $2019$ $Day2$ 模拟考试 题解报告

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了$CSP$ $2019$ $Day2$ 模拟考试 题解报告相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

目录

\\(CSP\\) \\(2019\\) \\(Day2\\) 模拟考试 题解报告

得分情况

\\(T1\\) \\(100\\ Pts\\) (做过)

\\(T2\\) \\(8\\ Pts\\)

\\(T3\\) \\(0\\ Pts\\)

总分: \\(108\\ Pts\\)

考试过程

\\(T1\\) 开始做 先把 \\(84\\) 的写完 跑路

看了一下 \\(T2\\) 看到小数据 写了个爆搜 感觉是 \\(dp\\) 但是没写

转 \\(T3\\) 想写暴力写不出来 看到一个链的特殊情况 推了一个假结论 满二叉树的情况推不出来 跑路

回 \\(T1\\) 把剩下分的写完 转 \\(T2\\) \\(dp\\) 推假 凄惨爆蛋

题解

\\(T1\\) Emiya 家今天的饭

容斥

答案为 每行选一个数的方案数减去每行选一个 有一行超过总数的一半的方案数

一定只有一列超过总数的一半 直接枚举 设为 \\(p\\)

状态 \\(f_{i, j, k}\\) 表示前 \\(i\\) 行 当前枚举列选择了 \\(j\\) 个数 其他列选择了 \\(k\\) 个数的方案数

\\(g_{i, j}\\) 表示前 \\(i\\) 行选 \\(j\\) 个的方案数

设 \\(s_i = \\sum_{j = 1}^m a_{i, j}\\)

转移 $$f_{i, j, k} = \\sum_{j = 0}^i \\sum_{k = 0}^i \\left(f_{i - 1, j, k} + f_{i - 1, j - 1, k} \\times a_{i, p} + f_{i - 1, j, k - 1} \\times \\left(s_i - a_{i, p}\\right)\\right)$$

其中 \\(j + k \\leq i\\)

\\[g_{i, j} = \\sum_{j = 0}^i \\left(g_{i - 1, j} + g_{i - 1, j - 1} \\times s_i\\right) \\]

答案为 $$\\sum_{j = 1}^n g_{n, j} - \\sum_{p = 1}^m \\sum_{j = 0}^n \\sum_{k = 0}^{j - 1} f_{n, j, k}$$

对 \\(p\\) 直接在循环内统计 同样 \\(j + k \\leq n\\)

显然 复杂度 \\(O(mn^3)\\) 可以通过 \\(84\\ Pts\\)

这一部分的代码

/*
  Time: 5.16
  Worker: Blank_space
  Source: P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int A = 1e4 + 7;
const int B = 1e5 + 7;
const int C = 1e6 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = 998244353;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
/*------------------------------------常量定义*/
int n, m, a[110][2021], g[110][110], s[110], f[110][110][110], sum, ans;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {if(ch == \'-\') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/

/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	n = read(); m = read(); g[0][0] = 1; f[0][0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) a[i][j] = read(), s[i] += a[i][j];
	for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 0; j <= i; j++) g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j] + (j > 0) * s[i] * g[i - 1][j - 1]) % mod;
	for(int j = 1; j <= n; j++) ans = (ans + g[n][j]) % mod;
	for(int p = 1; p <= m; p++, memset(f, 0, sizeof f), f[0][0][0] = 1)
	{
		for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 0; j <= i; j++) for(int k = 0; k + j <= i; k++)
			f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j][k] + a[i][p] * (j > 0) * f[i - 1][j - 1][k] % mod + (s[i] - a[i][p]) * (k > 0) * f[i - 1][j][k - 1] % mod) % mod;
		for(int j = 0; j <= n; j++) for(int k = 0; k + j <= n && k < j; k++) sum = (sum + f[n][j][k]) % mod;
	}
	printf("%lld", (ans - sum + mod) % mod);
	return 0;
}

考虑优化

对于 \\(f\\) 的转移 与 \\(j\\) 与 \\(k\\) 的大小无关 设 \\(f_{i, j}\\) 表示前 \\(i\\) 行 当前列比其他列多 \\(j\\) 个的方案数

转移 $$f_{i, j} = \\sum_{j = n - i}^{n + i}\\left(f_{i - 1, j} + f_{i - 1, j - 1} \\times a_{i, p} + f_{i - 1, j + 1} \\times \\left(s_i - a_{i, p}\\right)\\right)$$

复杂度 \\(O(mn^2)\\) 可以通过

代码

/*
  Time: 5.28
  Worker: Blank_space
  Source:
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int A = 1e4 + 7;
const int B = 1e5 + 7;
const int C = 1e6 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = 998244353;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
/*------------------------------------常量定义*/
int n, m, a[110][2021], s[110], g[110][2021], f[110][210], ans, sum;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {if(ch == \'-\') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
/*----------------------------------------快读*/

/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
	freopen("meal.in","r",stdin);
	freopen("meal.out","w",stdout);

    n = read(); m = read(); g[0][0] = 1; f[0][n] = 1;//防止越界 
    for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) a[i][j] = read(), s[i] = (s[i] + a[i][j]) % mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 0; j <= i; j++) g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j] + (j > 0) * g[i - 1][j - 1] * s[i] % mod) % mod;
    for(int j = 1; j <= n; j++) ans = (ans + g[n][j]) % mod;
    for(int p = 1; p <= m; p++, memset(f, 0, sizeof f), f[0][n] = 1) 
    {
    	for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = n - i; j <= n + i; j++)
    		f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j] + (j > 0) * f[i - 1][j - 1] * a[i][p] % mod + f[i - 1][j + 1] * (s[i] - a[i][p]) % mod) % mod;
    	for(int j = n + 1; j <= n << 1; j++) sum = (sum + f[n][j]) % mod;
    }
    printf("%lld", (ans - sum + mod) % mod);
    
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}
/*
2 3
1 0 1
0 1 1

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0


*/

\\(T2\\) 划分

\\(ps\\) : 赛后 一旁的 \\(zxs\\) 表示这不就是个数的划分的加强版 不随便写一个 \\(dp\\) 就有六十多分 闻言 我只能在一边疯狂膜拜

其实做的时候看了一下第三个样例 我就感觉这题不对劲 高精一如既往的恶心

由完全平方公式: \\(\\left(a + b\\right)^2 \\geq a^2 + b^2\\) 所以多分段一定会更优

状态: \\(f_i\\) 表示以 \\(i\\) 结尾 前面分为若干段(一定是尽量多分)的最小代价

以 \\(s\\) 数组表示前缀和 转移的同时维护一个 \\(g\\) 数组 记录上一个转移的位置

转移: \\(f_i = \\min\\{f_j + (s_i - s_j)^2 \\}\\)

转移的条件是 \\(s_i - s_j \\geq s_j - s_{g_j}\\) 且 \\(f_j + (s_i - s_j)^2 < f_i\\)

通过枚举 \\(j\\) 每次转移是 \\(O(n)\\) 的

总复杂度 \\(O(n^2)\\)

期望得分 \\(64\\ Pts\\)

实际得分 \\(64\\ Pts\\)

考虑优化

观察转移条件: \\(s_i - s_j \\geq s_j - s_{g_j}\\)

移项: \\(s_i \\geq 2s_j - s_{g_j}\\)

那么如果有 \\(j\\) 与 \\(k\\) 两个决策点 都可以转移到 \\(i\\) 若是 \\(k \\leq j\\) 因为分段越多答案越优 所以 \\(k\\) 这个点就没有用了 这样就可以通过单调队列进行优化

当一个元素的下一个元素仍然满足 \\(\\geq s_i\\) 这一条件时 那么这个元素就可以出队了

当有一个新的决策点时 维护队列单调递增

这样可以将转移优化到 \\(O(1)\\)

总时间复杂度 \\(O(n)\\)

期望得分 \\(100\\ Pts\\)

实际得分 \\(88\\ Pts\\)

后三个数据点的数据过大 炸掉了 \\(long\\ long\\)

代码

/*
  Time: 5.28
  Worker: Blank_space
  Source:
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
/*--------------------------------------头文件*/
const int M = 1e8;
const int B = 1e5 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = 1 << 30;
const int INF = 1e18;
/*------------------------------------常量定义*/
int m, n, type, a[D << 2], s[D << 2], ans = INF, f[D << 2], g[D << 2], q[D << 2], l, r;
int _p[B], _l[B], _r[B], b[D << 2];
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {if(ch == \'-\') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
inline void print(int x) {if(x > 9) print(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------快读*/

/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
//	freopen("partition.in","r",stdin);
//	freopen("partition.out","w",stdout);

    n = read(); type = read();
    if(type == 0) for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + read();
    else {
    	int x = read(), y = read(), z = read(); b[1] = read(), b[2] = read(), m = read();
    	for(int i = 1; i <= m; i++) _p[i] = read(), _l[i] = read(), _r[i] = read();
    	for(int i = 3; i <= n; i++) b[i] = (b[i - 1] * x + b[i - 2] * y + z) % mod;
    	for(int j = 1; j <= m; j++) for(int i = _p[j - 1] + 1; i <= _p[j]; i++) a[i] = (b[i] % (_r[j] - _l[j] + 1)) + _l[j], s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    memset(f, 63, sizeof f); f[0] = 0; g[0] = 0; q[l = r = 0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
    	while(l < r && s[i] - s[q[l + 1]] >= s[q[l + 1]] - s[g[q[l + 1]]]) l++;
    	f[i] = f[q[l]] + (s[i] - s[q[l]]) * (s[i] - s[q[l]]); g[i] = q[l];
    	while(l < r && 2 * s[q[r]] - s[g[q[r]]] >= 2 * s[i] - s[g[i]]) r--;
		q[++r] = i;
    }
    print(f[n]);
    
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}

可以直接开 \\(\\_\\_int128\\) 强过 时间复杂度是不变的

也可以选择写高精

\\(\\_\\_128\\) \\(AC\\) 代码

/*
  Time: 5.30
  Worker: Blank_space
  Source:
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define int long long
#define ll __int128
/*--------------------------------------头文件*/
const int M = 1e8;
const int B = 1e5 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = 1 << 30;
const int INF = 1e18;
/*------------------------------------常量定义*/
int m, n, _p, type, s[D << 2], g[D << 2], q[D << 2], l, r, tmp;
ll ans = 0;
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {if(ch == \'-\') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
inline void print(ll x) {if(x > 9) print(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------快读*/

/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
//	freopen("partition.in","r",stdin);
//	freopen("partition.out","w",stdout);

    n = read(); type = read();
    if(type == 0) for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + read();
    else {
    	int x = read(), y = read(), z = read(), b1 = read(), b2 = read(), m = read();
    	for(int j = 1; j <= m; j++)
    	{
    		int p = read(), _l = read(), _r = read();
    		for(int i = _p + 1; i <= p; i++)
    			if(i == 1) s[i] = b1 % (_r - _l + 1) + _l;
    			else s[i] = b2 % (_r - _l + 1) + _l, tmp = (b2 * x + b1 * y + z) % mod, b1 = b2, b2 = tmp;
    		_p = p;
    	}
    	for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] += s[i - 1];
    }
    q[l = r = 0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
    	while(l < r && s[i] - s[q[l + 1]] >= s[q[l + 1]] - s[g[q[l + 1]]]) l++;
    	g[i] = q[l];
    	while(l < r && 2 * s[q[r]] - s[g[q[r]]] >= 2 * s[i] - s[g[i]]) r--;
		q[++r] = i;
    }
    for(int i = n; i; i = g[i]) ans += (ll)(s[i] - s[g[i]]) * (s[i] - s[g[i]]);
    print(ans);
    
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}

高精度比较恶心 这个题卡时间还卡空间

自己写完后调了接近半个小时 改了很多地方 但是由于常数过大 不开 \\(O2\\) 的情况下依然只有 \\(88\\ Pts\\) 吸氧可以过

不知道题解里面有没有用高精过的代码 大多数都是直接用 \\(\\_\\_128\\) 水过去了

高精代码

/*
  Time: 5.30
  Worker: Blank_space
  Source:
*/
/*--------------------------------------------*/
#include<cstdio>
#define ll long long
#define Max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
/*--------------------------------------头文件*/
const int M = 1e8;
const int B = 1e5 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = (1 << 30) - 1;
const int INF = 1e18;
/*------------------------------------常量定义*/
int m, n, _p, type, g[D << 2], q[D << 2], l, r, tmp;
ll s[D << 2];
/*------------------------------------变量定义*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {if(ch == \'-\') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
inline void W(ll x) {if(x > 9) W(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------快读*/
struct node {
	ll a[6];
	int len;
	node() {for(int i = 0; i <= 5; i++) a[i] = 0; len = 1;}
	void print() {
		printf("%lld", a[len]);
		for(int i = len - 1; i; i--) printf("%08lld", a[i]);
		puts("");
	}
} ans;
node operator + (node x, ll y) {
	for(int i = 1; i <= 5 && y; i++)
	{
		x.a[i] += y % M; y /= M;
		y += x.a[i] / M; x.a[i] %= M;
	}
	while(x.a[x.len + 1]) x.len++;
	return x;
}
node operator * (node x, node y) {
	node z; z.len = x.len + y.len;
	for(int i = 1; i <= x.len; i++) for(int j = 1; j <= y.len; j++)
		z.a[i + j - 1] += x.a[i] * y.a[j];
	for(int i = 1; i <= z.len; i++) z.a[i + 1] += z.a[i] / M, z.a[i] %= M;
	while(!z.a[z.len] && z.len > 1) z.len--;
	return z;
}
node operator & (node x, node y) {
	node z; z.len = Max(x.len, y.len); ll t = 0;
	for(int i = 1; i <= z.len; i++)
	{
		z.a[i] = x.a[i] + y.a[i] + t;
		t = z.a[i] / M; z.a[i] %= M;
	}
	if(t) z.a[++z.len] = t;
	return z;
}
/*----------------------------------------函数*/
signed main() {
//	freopen("partition.in","r",stdin);
//	freopen("partition.out","w",stdout);

    n = read(); type = read();
    if(type == 0) for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + read();
    else {
    	int x = read(), y = read(), z = read(), b1 = read(), b2 = read(), m = read();
    	for(int j = 1; j <= m; j++)
    	{
    		int p = read(), _l = read(), _r = read();
    		for(int i = _p + 1; i <= p; i++)
    			if(i == 1) s[i] = b1 % (_r - _l + 1) + _l;
    			else s[i] = b2 % (_r - _l + 1) + _l, tmp = (b2 * x + b1 * y + z) & mod, b1 = b2, b2 = tmp;
    		_p = p;
    	}
    	for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] += s[i - 1];
    }
    q[l = r = 0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
    	while(l < r && s[i] - s[q[l + 1]] >= s[q[l + 1]] - s[g[q[l + 1]]]) l++;
    	g[i] = q[l];
    	while(l < r && 2 * s[q[r]] - s[g[q[r]]] >= 2 * s[i] - s[g[i]]) r--;
		q[++r] = i;
    }
    for(int i = n; i; i = g[i])
	{
		node d;
		d = d + (s[i] - s[g[i]]);
		ans = d * d & ans;
	}
    ans.print();
    
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}

\\(T3\\) 树的重心

以上是关于$CSP$ $2019$ $Day2$ 模拟考试 题解报告的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

CSP-S2019-day2

「CSP-S模拟赛」2019第一场

CSP-S 2019 翻车记

$NOIP 2018 Day2$ 模拟考试 题解报告

「CSP-S模拟赛」2019第二场

2019.9.29 csp-s模拟测试55 反思总结