2019.10.18模拟赛T3

Posted 2020-11-16 ldysy2012

题目大意：

　　求$sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^n[lcm(i,j)>n](nleq 10^{10})$的值。

题解：

　　这题貌似有n多种做法...

　　为了更好统计，把原式变为$n^2-sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^n[lcm(i,j)leq n]$。

　　然后开始毒瘤...

　　首先，考虑枚举$lcm(i,j)$，设为$d$，计算有多少对$i.j$的最小公倍数为$d$。

　　设$i=p_1^{a_1}p_2^{a_2}cdots p_k^{a_k}$，$tp(i)=k$

　　再枚举$gcd(i,j)$，设为$x$，又由于$frac{i}{gcd(i,j)}$和$frac{j}{gcd(i,j)}$互质，那么要统计的就是把$frac{d}{x}$拆成两个互质数的方案数。

　　那么简单想一下，方案数就是$2^{tp(frac{d}{x})}$，因为同一个质因子不能同时出现在两个数中。

　　于是答案变为：

　　　　$sumlimits_{d=1}^nsumlimits_{x|d}2^{tp(x)}$

　　枚举$x$，即$sumlimits_{x=1}^n2^{tp(x)}lfloorfrac{n}{x} floor$。

　　然后我们发现$lfloorfrac{n}{x} floor$可以进行数论分块，所以需要求出$2^{tp(x)}$的前$n$项和。

　　但是...我不会啊！！

　　所以接下来我开始打表，然后我惊奇地发现：

　　　　$2^{tp(x)}=sumlimits_{t|x}mu^2(t)$！！！