信息安全数学基础Fermat素性检测

Posted 2020-11-16 acydmm

算法背景与原理：

1、Fermat小定理：给定素数p，a∈Z，则有a^(p-1)%p=1

2、Fermat素性检测算法：奇整数m，若任取一整数2<=a<=m-2，gcd（a，m）=1，使得a^(m-1)%m=1，则m至少有1/2的概率为素数

算法步骤：

1、从文本中读取数字作为待判定的大数m

2、给出安全参数k

3、随机选取整数a，满足a∈[2,m-2]

4、计算g=gcd（a，m），如果g=1进行下一步，否则不是素数跳出

5、计算r=a^(m-1)%m，如果r=1则m可能是素数，否则不是素数跳出

6、重复上述过程k次，如果每次判定m都可能是素数，那么m是素数的概率是1-1/2^k

代码设计及注释：

 1 extern "C"
 2 {
 3 #include<miracl.h>
 4 #include<mirdef.h>
 5 }
 6 #include <stdio.h>
 7 
 8 int main() 
 9 {
10     FILE *fp;
11     int i = 0, k, probability = 1;//k是安全参数，pr是概率
12     printf("请输入安全参数k：");
13     scanf("%d",&k);
14     big m, r, g, a, b, m_4;
15     miracl *mip = mirsys(4000, 10);//初始化MIRACL系统,4000位的10进制数
16     m = mirvar(0);//big类型初始化函数
17     m_4 = mirvar(0);
18     r = mirvar(0);
19     g = mirvar(0);
20     a = mirvar(0);
21     b = mirvar(1);
22     fp = fopen("20.txt", "r+");
23     mip->IOBASE = 10; 
24     cinnum(m, fp);//将大数字符串转换成大数
25     fclose(fp);
26     //奇数m,若取任意整数2<=a<=m-2，gcd（a，m）=1，使得a^(m-1)=1（mod m），则m有1/2的概率为素数
27     for (i = 0;i<k;i++) 
28     {
29         probability = probability * 2;
30         decr(m, 4, m_4);//m_4=m-4
31         bigrand(m_4, a);//产生一个小于m-4的大数随机数a
32         printf("随机数a=");
33         cotnum(a, stdout);
34         incr(a, 2, a);//a=a+2，这样可以保证a>=2且a<=m-2
35         decr(m, 1, g);//g=m-1，作为计算模的指数
36         powmod(a, g, m, r);//r=a^g （mod m），如果r=1，那么m就有二分之一的概率为素数
37         egcd(a, m, g);//g=gcd(a,m)
38         if (mr_compare(g, b) || mr_compare(b, r))//如果gcd(a,m)不等于1或模值r不等于1，不是素数，跳出
39 {
40             printf("gcd(a.m)不等于1或r不等于1
");
41             break;
42         }
43         else
44             printf("最大公约数为1，模值为1，因此输入有%d/%d可能为素数
",probability - 1, probability);
45     }
46     printf("由此可得所输入的数字：
");
47     cotnum(m, stdout);//输出m
48     if (i == k)
49         printf("有%d/%d的可能性输入的是素数
",probability - 1, probability);
50     else 
51         puts("不是素数
");
52     mirexit();
53     return 0;
54 }

以验收数据10、20，安全参数k=5为例

 

 

第10个验收数据在k次运算之后符合判断条件，因此有31/32的概率是素数

 

第20个验收数据在第一次判定就发生错误，因此不是素数