初等数学问题解答-5:一个Fermat方程的简化形式
Posted 赵胤数学课
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本题适合初一以上数学爱好者解答。
问题:
已知 $x$, $y$, $z$, $n$ 均为正整数,且 $n \ge z$,证明:方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。
解答:
事实上Fermat大定理已经被英国数学家Andrew Wiles证明。本题是该定理的一个简化形式,具备初中数学知识即可顺利解决。
由已知,$x < z \le n$,$y < z \le n$,且 $x \ne y$ (否则 $2 \cdot x^n = z^n$ 无整数解)。
不失一般性,假设 $x < y$,因此有 $$z^n - y^n = (z - y)\left(z^{n-1} + yz^{n-2} + \cdots + y^{n-1}\right) \ge 1 \cdot nx^{n-1} > x^n.$$ 与已知 $x^n + y^n = z^n$ 矛盾。
Q$\cdot$E$\cdot$D
作者简介:
赵胤,海归双硕士(数学建模 & 数学教育),中国数学奥林匹克一级教练员,原北京四中数学竞赛教练员,目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。
主要研究方向包括:数学建模(机器学习算法)与数学奥林匹克教育(解题研究与教学法),以第一作者身份发表英文论文5篇。
在10余年的教学生涯中,培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手,包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖,全美数学竞赛(AMC)、美国数学邀请赛(AIME)满分等。
数学竞赛课程QQ群:482131093
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