AKS素性检测
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2002年印度数学家Manindra Agrawal, Neeraj Kayal,Nitin Saxena 给出了一个是否为素数的判别准则。
定理一:设 $a$ 是于 $p$ 互素的整数,则 $p$ 是素数的充分必要条件是$$(x-a)^p \equiv (x^p-a)(mod \ p)$$
证:
$\because (x-a)^p = x^p + \sum_i=1^p-1C_n^ix^i(-a)^p-i + (-a)^p$
如果 $p$ 是素数,则 $p | C_p^i, 0 < i < p$,因此,结论成立
反过来,如果 $p$ 是合数,考虑 $p$ 的素因数 $q$,设 $q^k || p$,易证 $q^k \nmid C_p^q$ 且 $(q^k, a)=1$,因此,$x^q$ 的系数模 $p$ 不为零,这样 $(x-a)^p - (x^p-a)$ 在 $\mathbfF_p$ 上不恒为零。证毕
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Prime Test POJ - 1811(素性检测+大数分解)