Python 中的 AKS Primes 算法

Posted 2023-02-14

【中文标题】Python 中的 AKS Primes 算法

【英文标题】：AKS Primes algorithm in Python

【发布时间】：2010-09-25 18:10:44

【问题描述】：

几年前，证明PRIMES is in P。有没有在 Python 中实现their primality test 的算法？我想用一个简单的生成器运行一些基准测试，并亲眼看看它有多快。我会自己实现它，但我对论文的理解还不够。

【问题讨论】：

AKS 具有重要的理论意义，但它的性能很糟糕（米勒拉宾要好得多）。在 Python 中实现了许多素性测试。

很抱歉让您失望了，这里有一点数学上的误解！虽然我们还没有正式确定P == NP，但是即使P != NP，也不能跟P == Fast！

【参考方案1】：

快速回答：不，AKS 测试不是测试素性的最快方法。有许多更快的素性检验，它们要么假设（广义）黎曼假设和/或随机化。 （例如，Miller-Rabin 实现起来既快速又简单。）该论文的真正突破是理论上的，证明存在用于测试素性的确定性多项式时间算法，而无需假设 GRH 或其他未经证实的猜想.

也就是说，如果您想理解并实施它，Scott Aaronson's short article 可能会有所帮助。它没有详细介绍所有细节，但您可以从第 10 页（共 12 页）开始，它已经提供了足够的信息。 :-) 这里还有一个list of implementations（主要是C++）。

此外，对于优化和改进（几个数量级），您可能需要查看this report，或（旧版）Crandall and Papadopoulos's report，或（更旧版）Daniel J Bernstein's report。它们都有相当详细的伪代码，非常适合实施。

【讨论】：

更新：Terence Tao 对数学的另一个很好的阐述，这里：terrytao.wordpress.com/2009/08/11/the-aks-primality-test

AKS 测试不是最快的方法，但它是第一个针对素数的万无一失的测试。

@Progo：更准确地说，这是我们可以证明是万无一失的和多项式时间的第一个测试。还有其他我们坚信是的测试实际上是完全万无一失的（例如，因为可以证明它们假设像黎曼假设这样的可靠猜想），还有其他测试我们可以prove 完全是万无一失的，并且几乎总是运行得很快，但我们不能 prove 是多项式时间的。 AKS 的突破是两者兼而有之。

@Progo，显然您观看了 numberphile 视频，这非常具有误导性。它不是最快的方法，不是第一个防呆测试，也不是最快的防呆测试，等等。它是确定性多项式时间，在没有假设 ERH 的情况下我们以前没有。我们有（并且今天仍在使用）APR-CL，它是我们将要计算的任何输入的有效多项式时间。我们有并且仍在使用 ECPP，它是预期的多项式时间（但由于随机性可能运行缓慢）。两者都是“万无一失”的方法，而且速度更快。

【参考方案2】：

是的，去rosettacode.org上查看AKS test for primes页面

def expand_x_1(p):
    ex = [1]
    for i in range(p):
        ex.append(ex[-1] * -(p-i) / (i+1))
    return ex[::-1]

def aks_test(p):
    if p < 2: return False
    ex = expand_x_1(p)
    ex[0] += 1
    return not any(mult % p for mult in ex[0:-1])
    print('# p: (x-1)^p for small p')
    for p in range(12):
        print('%3i: %s' % (p, ' '.join('%+i%s' % (e, ('x^%i' % n) if n else '')
                                   for n,e in enumerate(expand_x_1(p)))))

print('\n# small primes using the aks test')
print([p for p in range(101) if aks_test(p)])

输出是：

# p: (x-1)^p for small p
  0: +1
  1: -1 +1x^1
  2: +1 -2x^1 +1x^2
  3: -1 +3x^1 -3x^2 +1x^3
  4: +1 -4x^1 +6x^2 -4x^3 +1x^4
  5: -1 +5x^1 -10x^2 +10x^3 -5x^4 +1x^5
  6: +1 -6x^1 +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +1x^6
  7: -1 +7x^1 -21x^2 +35x^3 -35x^4 +21x^5 -7x^6 +1x^7
  8: +1 -8x^1 +28x^2 -56x^3 +70x^4 -56x^5 +28x^6 -8x^7 +1x^8
  9: -1 +9x^1 -36x^2 +84x^3 -126x^4 +126x^5 -84x^6 +36x^7 -9x^8 +1x^9
 10: +1 -10x^1 +45x^2 -120x^3 +210x^4 -252x^5 +210x^6 -120x^7 +45x^8 -10x^9 +1x^10
 11: -1 +11x^1 -55x^2 +165x^3 -330x^4 +462x^5 -462x^6 +330x^7 -165x^8 +55x^9 -11x^10 +1x^11

# small primes using the aks test
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

【讨论】：

这不是 AKS 算法；这是一个指数时间算法，它实现了 AKS 算法背后的基本思想，没有任何使其成为多项式时间的思想。

【参考方案3】：

我使用二项式展开简化，

from math import comb
                                
def AKS(n):
    if (n ^ 1 == n + 1):        # check if it's even
        if n == 2:
            return True         
        return False
    for i in range(3,n//2):
        if comb(n,i)%n != 0:    # check if any coefficient isn't divisible by n
            return False
    return True