03-乘法和逆矩阵

Posted 2020-11-16 always-fight

一、矩阵乘法

　矩阵乘法有下面的理解：

　两个矩阵相乘=第三个矩阵，即$A*B=C$，我们可以理解为矩阵$A$与矩阵$B$的每一列相乘（$A$的各列的线性组合=$C$中的某一列），得到矩阵$C$的每一列

 

 

　也可以这么理解，矩阵$C$中的每个元素$c_{ij}$来自矩阵$A$的第i行和矩阵$B$的第j列点乘：

 

 

　第三种理解：以行为单位，$A$中某一行与矩阵$B$整体相乘（即矩阵$B$各行的线性组合结果）= 矩阵$C$中某一行

 

　第四种就是列×行，即$A$中各列×$B$中各行：

　当然也可以将矩阵$A$和$B$进行分块相乘：

 

二、逆矩阵

　这里讨论方阵，先说不可逆的情况（这里先举个例子，下面的示例矩阵不可逆）：

$left|egin{array}{lll}{1} & {3} \\ {2} & {6}end{array} ight|$

　解释：如果某个矩阵的列向量的线性组合可以得到0向量，那么该矩阵不可逆

　OK，我们知道了某矩阵存在可逆矩阵，那么如何求出来逆矩阵呢？如

$left[egin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}end{array} ight]$

 　我们将逆矩阵用未知变量填充：

　根据之前所将，矩阵乘法可以理解为矩阵$A$与逆矩阵$A^{-1}$的第一列相乘得到$I$的第一列，矩阵$A$与逆矩阵$A^{-1}$的第二列相乘得到$I$的第二列，

　也就是$A$与逆矩阵的第$j$列相乘结果是$I$的第$j$列，由此可见，求逆矩阵和解方程组类似，但这些方程组有相似的系数（即矩阵$A$），但是方程右侧向量不同（单位矩阵$I$的不同列向量），对于上面的例子：

$left[egin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}end{array} ight]left[egin{array}{l}{a} \\ {b}end{array} ight]=left[egin{array}{l}{1} \\ {0}end{array} ight]$

$left[egin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}end{array} ight]left[egin{array}{l}{c} \\ {d}end{array} ight]=left[egin{array}{l}{0} \\ {1}end{array} ight]$

如果我们求出a，b，c，d，那么我们就得到矩阵$A$的逆矩阵

　高斯若尔当消元法可以联合两个方程组同时求得a，b，c，d，方法是对增广矩阵进行消元，将左边变成单位矩阵，那么右边就是要求的逆矩阵$A^{-1}$，增广矩阵如下：

$left[egin{array}{llll}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {2} & {7} & {0} & {1}end{array} ight]$

消元1：$left[egin{array}{rrrr}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}end{array} ight]$

左边变成单位矩阵-3变为0：$left[egin{array}{rrrr}{1} & {0} & {7} & {-3} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}end{array} ight]$

综上过程我们可以得到逆矩阵

 

　下面划重点：我们来解释一下高斯若尔当消元法求逆矩阵为何能行得通（也就是上面的消元过程为何可以出逆矩阵）

　　我们先总结一下上面的过程：（将增广矩阵$AI$转换成$I?$，？即为要求的逆矩阵）

高斯若尔当消元：$left[egin{array}{ll}{A I}end{array} ight]=>left[egin{array}{ll}{I ?}end{array} ight]$

　　在02-消元我们曾经讲过，矩阵消元的每一步过程可以用初等矩阵$E$来实现，整个过程可以根据矩阵相乘结合律来用一个矩阵$E$实现，我们这里假设上面的整个转换过程可以借助矩阵$E$实现：

$Eleft[egin{array}{ll}{A I}end{array} ight]=left[egin{array}{ll}{I ?}end{array} ight]$

　　根据我们之前矩阵相乘所讲（矩阵$E$与$[AI]$相乘，可以理解为矩阵$E$分别与矩阵$A$和矩阵$I$相乘）：

$E$ * $A$ = $I$　　(1)

$E$ * $I$ = $?$　　(2)

　　由（1）可知$E = A^{-1}$，代入（2），可得$?=A^{-1}$

 

　这就是高斯若尔当消元法求逆矩阵行得通的原因