5.10 图上的傅里叶变换和逆变换
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了5.10 图上的傅里叶变换和逆变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来，核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数 e − i ω t e^{-i\\omega t} e−iωt变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。
(1)傅里叶变换
(2)Graph上的傅里叶变换
传统的傅里叶变换定义为：
F
(
ω
)
=
F
[
f
(
t
)
]
=
∫
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
(1)
F(\\omega)=\\mathcal{F}[f(t)]=\\int_{}^{}f(t)e^{-i\\omega t} dt\\tag1
F(ω)=F[f(t)]=∫f(t)e−iωtdt(1)
公式 (1) 表示的意义是傅立叶变换是时域信号 f ( t ) f(t) f(t) 与基函数 e − i ω t e^{-i \\omega t} \\quad e−iωt (拉普拉斯算子特征函数）的积分，那么为什么要找 e − i ω t e^{-i \\omega t} e−iωt 作为基函数呢?
- e − i ω t e^{-i \\omega t} e−iωt 是正交函数系。
- 从数学上看, e − i ω t e^{-i \\omega t} e−iωt 是拉普拉斯算子 Δ \\Delta Δ 的特征函数 (满足特征方程) , ω \\omega ω 就和特征值有关。
至于 e − i w t e^{-i w t} e−iwt 由何种推导得来的请参考：傅里叶变换的全面理解
拉普拉斯算子Δ的定义:
5.8 拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵，图拉普拉斯算子推导_炫云云
其数学定义为: Δ = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ 2 x i ( 2 ) \\Delta=\\sum_{i=1}^n\\frac{\\partial^2}{\\partial{^2x_{i}}} \\quad\\quad\\quad(2) Δ=∑i=1n∂2xi∂2(2)
e − i ω t e^{-i\\omega t} e−iωt为何是拉普拉斯算子 Δ \\Delta Δ的特征函数？理解如下
广义的特征方程定义为：
A
V
=
λ
V
(3)
A V=\\lambda V \\tag{3}
AV=λV(3)
其中 A A A 是一种变换(例如：拉普拉斯), V V V 是特征向量或者特征函数 (无限维的特征向量)， λ \\lambda λ 是特征值。
带入函数
e
−
i
ω
t
e^{-i \\omega t}
e−iωt 满足：
Δ
e
−
i
w
t
=
∂
2
∂
2
x
i
e
−
i
w
t
=
∂
2
∂
2
t
e
−
i
w
t
=
−
w
2
e
−
i
w
t
(4)
\\Delta e^{-iwt}=\\frac{\\partial ^2}{\\partial^2 x_i}e^{-iwt}=\\frac{\\partial ^2}{\\partial^2 t}e^{-iwt}=-w^2e^{-iwt} \\tag4
Δe−iwt=∂2xi∂2e−iwt=∂2t∂2e−iwt=−w2e−iwt(4)
当然 e − i ω t e^{-i \\omega t} e−iωt 就是变换 Δ \\Delta Δ 的特征函数, ω \\omega ω 和特征值密切相关。
由上述证明可得结论：傅立叶变换是时域信号与拉普拉斯算子特征函数的积分。
从整体推特殊，将以上的结论推广到（离散）图中可知：图上的傅立叶变换就是时域信号与图拉普拉斯算子特征函数的求和！
那么，处理Graph问题的时候，用到拉普拉斯矩阵（拉普拉斯矩阵就是离散拉普拉斯算子)，自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。
L L L 是拉普拉斯矩阵， V V V 是其特征向量，自然满足下式
L
V
=
λ
V
LV=\\lambda V
LV=λV
对于傅里叶变换式（1），将特征函数转换为特征向量，离散积分就是一种内积形式,将积分转换为求和，那么N个节点图上的傅立叶变化表达式为：
F
(
x
)
=
F
(
λ
l
)
=
∑
i
=
1
N
x
i
∗
u
l
∗
(
i
)
(5)
\\mathscr{F}(x)=F(\\lambda_l)=\\sum_{i=1}^N x_i*u_l^*(i) \\tag 5
F(x)=F(λl)=i=1∑Nxi∗ul∗(i)(5)
图信号
x
i
x_i
xi (时域)与图的节点一一对应 ,经过图上的傅立叶变化得到
F
(
λ
l
)
F\\left(\\lambda_{l}\\right)
F(λl) 是图上的
N
N
N维向量(频谱域),
u
l
(
i
)
u_{l}(i)
ul(i) 表示第
l
l
l个特征向量的第
i
i
i个分量 。
λ
l
\\lambda_{l}
λl 为图拉普拉斯算子第
l
l
l 个特征值,
注：上述的内积运算是在复数空间中定义的, 所以采用了 u l ∗ ( i ) u_{l}^{*}(i) ul∗(i), 也就是特征向量 u l u_{l} ul 的共轭。
利用矩阵乘法将图上的傅里叶变换推广到矩阵形式：
(
F
(
λ
1
)
F
(
λ
2
)
⋮
F
(
λ
N
)
)
=
(
u
1
(
1
)
u
1
(
2
)
…
u
1
(
N
)
u
2
(
1
)
u
2
(
2
)
…
u
2
(
N
)
⋮
⋮
⋱
⋮
u
N
(
1
)
u
N
(
2
)
…
u
N
(
N
)
)
(
x
1
x
2
⋮
x
N
)
\\left(\\begin{matrix} F(\\lambda_1)\\\\ F(\\lambda_2) \\\\ \\vdots \\\\ F(\\lambda_N) \\end{matrix}\\right)= \\left(\\begin{matrix}\\ u_1(1) &u_1(2)& \\dots &u_1(N) \\\\u_2(1) &u_2(2)& \\dots &u_2(N)\\\\ \\vdots &\\vdots &\\ddots & \\vdots\\\\ u_N(1) &u_N(2)& \\dots &u_N(N) \\end{matrix}\\right) \\left(\\begin{matrix}x_1\\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\x_N \\end{matrix}\\right)
⎝⎜⎜⎜⎛F(λ1以上是关于5.10 图上的傅里叶变换和逆变换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 )