矩阵乘法和逆

Posted 2020-11-27 lilpig

矩阵乘法的几种做法

行乘列

矩阵乘列

行乘矩阵

列乘行

块乘块

单位阵

一个矩阵乘以单位矩阵等于本身

[ egin{equation} left[egin{array}{ccc} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 end{array} ight] imes{ left[egin{array}{ccc} 1&0&0&1&0&0&1 end{array} ight]}= left[egin{array}{ccc} 1&2&34&5&67&8&9 end{array} ight] end{equation} ]

逆矩阵

一个矩阵乘以它的逆矩阵等于单位阵

[ egin{equation} A^{-1} imes A = I = A imes A^{-1} end{equation} ]

无逆的矩阵

如下矩阵无逆

[ left[egin{array}{ccc} 1&32&6 end{array} ight] ]

我们看下原因

从列的角度思考

第一列向量和第二列向量在一条线上，它们是倍数关系，即使去掉其中一列，矩阵张成的空间也不变。你无论用什么矩阵乘它，得到的都是在这条线上的玩意，而单位阵中的每个向量是不共线的，所以。。。

可以的出结论，如果一个n维方阵不能撑开整个n维空间，他就没有逆。所以下面是矩阵没有逆的条件

[ egin{equation} exists ,vector ,x ,(x ot = 0) ,st. ,Ax=0存在一个向量x（x不是零向量）使得Ax为零向量 end{equation} ]

因为有一对下向量是倍数关系，对于这两列我们很容易取一个系数让结果为0,比如上面的例子，第二列是第一列的三倍，我们只需要取3倍的列一和-1倍的列二结果就为0，所以，对于上面的矩阵，x为：

[ left[egin{array}{ccc} 3-1 end{array} ight] ]

如果还存在其他不共线的向量直接取0倍即可。

从行列式的角度思考

矩阵行列式为0时矩阵没逆

因为有两列共线，消元后就有一个为0的主元，行列式必然是0

高斯若尔当法求逆矩阵

假设我们有矩阵A，求解它的逆矩阵，假如那个标满黑人问号的矩阵为所求矩阵，那肯定满足如下公式：

[ egin{equation} left[egin{array}{ccc} 1&32&7 end{array} ight] imes left[egin{array}{ccc} ?&??&? end{array} ight] = left[egin{array}{ccc} 1&0&1 end{array} ight] end{equation} ]

我们线把单位矩阵和A组合起来，变成A的增广矩阵：

[ egin{equation} left[egin{array}{ccc} 1&3&1&02&7&0&1 end{array} ight] end{equation} ]

然后对它消元

[ egin{equation} 行2减去2倍行1\\left[egin{array}{ccc} 1&3&1&0&1&-2&1 end{array} ight]行1减去3倍行2\\left[egin{array}{ccc} 1&0&7&-3&1&-2&1 end{array} ight]\\end{equation} ]

然后左侧原来的矩阵A变成了单位阵，右侧的就是A的逆矩阵，原理就是我们刻意通过消元找到一个矩阵E乘A为单位阵，因为E在平常的消元步骤中不体现出来，所以把A变成加个单位阵的增广矩阵，E就能体现出来了。

[ egin{equation} E imes AI = IE(E=A^{-1}) end{equation} ]

参考资料

• MIT线性代数公开课 - bilibili