二进制补码

Posted 2021-03-25 zqk9412

内容来自：https://blog.csdn.net/zhuozuozhi/article/details/80896838  

 

二进制负数的在计算机中采用补码的方式表示。很多人很好奇为什么使用补码，直接使用原码表示多好，看上去更加直观和易于计算。然而事实告诉我们，这种直观只是我们人类的一厢情愿罢了，在计算机看来，补码才是它们最想要的。那么，为什么计算机使用补码更好，又是如何通过补码来计算数值的呢？

我看过网络上很多解释补码的文章，几乎一致的回答就是符号位不变，其他各位逐位求反再加一。在此我想说，这些都不是根本原理。谁都知道这么求，数电第一章就明确写了怎么求，关键是为什么这么算，其中的原理是什么？

本文主要的内容就是深入讲解补码的原理，其中内容有相互引用成分及计算机基础要求，不适合初学者阅读。当然，随便看看无所谓啦。
1.什么是补码

    这个没有找到官方定义，只进行个人定义。   

    个人定义：补码是计算机中用来表示负数，使得负数能够使用加法器参与加法运算的一种码。

    加减是计算机中最常用的运算，加法一般使用加法器来实现，减法则使用减法器实现。那有什么办法可以将减法变为加法，这样就可以让系统只实现加法即可，答案就是补码。

    理解补码最简单的例子就是时钟。

    例1：

    假如一个时钟现在显示的是10点钟，如何将它调到6点钟？

    解：有两种方法，一是向后拨8个小时，二是向前拨4个小时

    在这个例子中，8 和 4 互为补数，也就是说4的补码是8,8的补码是4，而这个时钟的模就是12

    注意：可能有人会想，在往后调8个小时虽然也调到了6点，但是他实际上比原来日期多了12小时。是的，的确如此，但是你的时钟有地方存储了这多余的12个小时吗？答案是没有，所以在你调完后，你没有记录这12个小时，换句话说，你把这溢出的12个小时自动舍弃了。当第二个人来查看闹钟时间的时候，他看到的时间就是准的。

    例2：

    一个数的数值是11，他的模是16，那么他的补码是多少？

    解：16-11 = 5，即补码就是5。

2.模

   关于模没有找到固定的定义，简单来说模就是一个循环的周期，在例1中，时钟的一个周期就是12，所以模是12。一周的模是7天，一天的模是24小时。模是补码的一个重要概念。

3.使用补码运算

   例3

   16-13，模为32，使用补码运算该算式。

   解 (16 + （32-13）)% 32 = 35 % 32 = 3 

4.使用补码进行二进制运算    

    有看过数电基础的都应该记得，第一章就有说明如何求二进制补码是如何运算的。正数的补码即为自己，负数的补码为符号位不变，其余逐位求反再加1。

    使用该定义，先通过例子求出数值，再对例子进行详细讲解，为什么可以使用负数的补码来运算。

    例4   通过二进制求15-11的值

    要想让减法变加法，必须转换算式为 15 + （-11）

    15为正数，符号位为0，二进制表示为 01111

     -11为负数，符号位为1，负数源码为  11011 ，补码符号位不变，其余逐位求反再 +1，即 10101

   所以 15 + （-11） = 01111 + 10101 = 100100 舍弃最高位（与高地址位概念不同）溢出位，即00100，即+4

  这是一个最简单的补码算法运算的例子，却有很多不解之处。

 1.为什么负数 （-11 ）逐位求反再+1就可以代表原来的数？

 2.为什么高位舍弃

 3.为什么符号位能够参与运算

 先看问题1，-11 先不考虑符号位，观察11的二进制表示，11使用二进制表示是 1011，将1011 逐位求反 得到 0100，因为是逐位求反，1011 +0100 = 1111 ，而1111 + 1 = 10000，发现了什么？10000是四位2二进制数的模。为什么10000是4位二进制数的模呢？原理也很简单，4位寄存器最高能表示什么数？即0b1111 = 15 , 15 +1 =16 即溢出低四位归 0，所有模为16。

所以不管几位二进制数，取反后得到的值加原码会刚好的到所有的位都是1的二进制数，再加一就刚好进位得到模。所以取反加一是无论如何都能取到补码的。比如 ：（原）101 +  （补)((反)010 +1） = 8 ，（原）10 + （补）（（反）01 +1）= 4。

所以，负数符号位不变，其余逐位求反 +1 只是算出补码最简单的方法，而不是理论基础。

前面提到过，使用补码代替原码，计算后模掉溢出得到数值就可以得到计算的值了。

再看问题2，为什么高位舍弃，这个问题其实在例1中已经做了说明，因为你没有存储这个高位的空间，用最简单的解释来解释就是，一个4位的寄存器，只能存储数据的低四位，最高第五位没地方放，就像例1中多出来的12小时，没有地方存储，那么就丢弃了，反正结果正确就行。可能有人会问，你说丢弃就丢弃吗，丢了你怎么保证是正确的？

重新再看一次例4，现在考虑符号位，将符号位加入运算。

15 - 11 = 15 + （-11），其中 -11 为 11011（加了一位符号位，所以模为 16 * 2^1） 他的补码为 10101 = 21

所以 15 -11 变为 15 +21 = 36 （01111 + 10101） ，想想看，原先是减一个数，变换后却变成了一个比减数更大的加数了，能不溢出吗。所以要模掉溢出位 36 % 32 = 4 。仔细观察被模数36 = 1 00100 你会发现，在数据高2位以前的所有高位都是32的倍数，所以用32进行模运算就会全部清0，这就是为什么高位可以直接舍弃的原因，因为高位永远会是模的倍数。

最后看问题3，为什么符号位能够参与运算，可能在这前面一直被符号位困扰，为什么参与运算就没有问题，看了这里的解释，我相信你讲不会再被困扰。

符号位对于我对二进制补码的理解产生了很大的阻碍，我不明白为什么符号位可以参与运算，而且算出来还是对的。花了不少时间理解了符号位的含义。我想说，符号位不变，其余逐位求反 +1 这个定义很差。

    首先放弃符号位就是计算机表示正数和负数用的这个思维，改成这样理解，就会非常清晰：在有符号的数据类型中，第一位如果是0，那么这个数值是正数原码，第一位如果是1，那么这个数值是负数补码，这个数值是计算所得,而不是计算机设定的如此。

    然后放弃负数补码符号位不变，其余逐位求反再+1这个方法，使用如下负数补码的求法。一个二进制数值如果是正数，那么将不变。如果是负数，那么这个二进制数最高位加一位0（如： 1010 变为 01010 ,位数变高一位，模需要乘2，即由16变32），对该数求补码（01010 求补码 10110） 。是不是发现，所谓的符号位不变，其余逐位求反再加一和 在数值前面再加一位0，再所有位求反再+1的效果是一样的，只要求反，最高位0肯定会变成1。一旦知道第一位是0或者1，也就确定了他是正数还是负数了，采用这种理解法，运算符可以加入运算也就理所当然了。（被减数 + 负数补数）% 负数补数的模 = 带符号计算值 这样的计算方式能保证所有的符号位都能参与运算。而符号位不变，其余取反+1的解释显的符号位非常难以理解。

    最后再看下重新思考这个运算思路，在运算中，如果遇到加法运算符，则直接运算符，如果遇到减法运算符，查看减数是正数还是负数，如果是负数，从补码反求源码，加入计算，如果遇到正数，则最高位加一位0，取反 +1 求补码，加入运算。

到这里补码的原理就差不多讲清楚了，无非是使用模进行转化，但是我们站在十进制的角度，去看二进制的东西，的确会显得相当费解。

内容有相互嵌套成分，阅读后回顾前面的内容可能会更加深入理解。

还有很多特殊情况没有考虑，只讲解了最核心的内容。

本文纯属个人理解，如有纰漏，请勿拍砖。
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