置换及Pólya定理

Posted 2021-03-25 whx1003

听大佬们说了这么久Pólya定理，终于有时间把这个定理学习一下了。

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置换（permutation）简单来说就是一个（全）排列，比如 (1,2,3,4) 的一个置换为 (3,1,2,4)。一般地，我们记 (i) 到 (a_i(1<=i<=n)) 的一个置换为

[ left ( egin{matrix} 1 & 2 & cdots & n a_1 & a_2 & cdots & a_n end{matrix} ight ) ]

可以发现，置换的本质是一一映射，所以我们可以将上面的置换简记为 (f={a_1,a_2,cdots,a_n})，其中 (f(i)=a_i(1<=i<=n))。从这种映射的角度来看，置换是可以复合的。如果 (f={a_1,a_2,cdots,a_n},g={b_1,b_2,cdots,b_n})，我们称 (fg={b_{a_1},b_{a_2},cdots,b_{a_n}}) 为 (f) 和 (g) 的复合。它表示我们先将一个数 (i) 映射到 (f(i))，再映射到 (g(f(i)))。比如，(f={1,3,4,2},g={3,2,1,4})，则 (fg={3,1,4,2})，它表示 (2) 先映射到 (f(2)=3)，这个 (3) 再映射到 (g(3)=1)，所以总的来说，(fg(2)=g(f(2))=1)。

循环（permutation cycle）是一类特殊的置换，它表示一些元素有次序地交换位置。通常地，我们记置换(left(egin{matrix} a_1 & a_2 & cdots & a_{n-1} & a_n a_2 & a_3 & cdots & a_n & a_1end{matrix} ight))的循环为 ((a_1,a_2,cdots,a_n))。与置换类似，循环也有乘积。我们常用循环的乘积来表示置换，如(left(egin{matrix} 1 & 2 & cdots & k & k+1 & cdots & n 2 & 3 & cdots & 1 & k+2 & cdots & k+1end{matrix} ight) = (1,2,cdots,k)(k+1,cdots,n))。虽然置换乘法是不可交换的，但我们应当发现，对不相交的循环，不论用什么方式相乘，其结果总是一样的。

那么置换和Pólya定理有什么关系呢？我们通过一道题目来阐述。

题目（等价类计数问题）在 (2 imes 2) 的方格中，我们将每个方格涂成黑白两色。如果允许旋转，一共会有多少种方案？

分析我们先考虑没有旋转的所有情况。有以下 (16) 种：