poj 1286 Necklace of Beads & poj 2409 Let it Bead(初涉polya定理)

Posted 2020-09-12 yfceshi

http://poj.org/problem?id=1286

题意：有红、绿、蓝三种颜色的n个珠子。要把它们构成一个项链，问有多少种不同的方法。旋转和翻转后同样的属于同一种方法。

polya计数。

搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya究竟是什么东东。它主要计算所有互异的组合的个数。对置换群还是似懂略懂。用polya定理解决这个问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群，每种置换的循环节数。像这样的不同颜色的珠子构成项链的问题能够把N个珠子看成正N边形。

Polya定理：（1）设G是p个对象的一个置换群。用k种颜色给这p个对象，若一种染色方案在群G的作用下变为还有一种方案，则这两个方案当作是同一种方案，这种不同染色方案数为：。

(2) 对于N个珠子的项链，共同拥有n种旋转置换和n种翻转置换。

对于旋转置换：每种置换的循环节数c(fi) = gcd(n,i)。(i为一次转过多少个珠子)

对于翻转置换：假设n为奇数。共同拥有n种翻转置换。每种置换的循环节数c(f) = n/2 + 1;

                      假设n为偶数，c(f) = n/2的置换有n/2个； c(f) = n/2 + 1的置换有n/2个。

直接带入公式就KO了。

poj 1286

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10;

int n;
_LL ans;

int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
	 while(~scanf("%d",&n))
	 {
	 	if(n == -1)
			break;
		if(n == 0) //不考虑n=0的情况，会导致RE
		{
			printf("0\\n");
			continue;
		}
		ans = 0;
		// n 种旋转置换

		for(int i = 1; i <= n; i++)
			ans += pow(3.0,gcd(n,i));

		//m种翻转置换

		if(n & 1)
		{
			ans += n * pow(3.0,n/2+1);
		}
		else
		{
			ans += n/2 * pow(3.0,n/2);
			ans += n/2 * pow(3.0,n/2+1);
		}

		ans = ans/2/n;

		printf("%I64d\\n",ans);
	 }
	 return 0;
}

poj 2409

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10;

int c,s;
_LL ans;

int gcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
	while(~scanf("%d %d",&c,&s))
	{
		if(c == 0 && s == 0) break;
		ans = 0;

		for(int i = 1; i <= s; i++)
			ans += pow(c*1.0,gcd(s,i));

		if(s & 1)
		{
			ans += s * pow(c*1.0,s/2+1);
		}
		else
		{
			ans += s/2 * pow(c*1.0,s/2);
			ans += s/2 * pow(c*1.0,s/2+1);
		}
		ans = ans/2/s;
		printf("%I64d\\n",ans);
	}
	return 0;
}