【POJ2154】Color
题意：求用$n$种颜色染$n$个珠子的项链的方案数。在旋转后相同的方案算作一种。答案对$P$取模。
询问次数$\le 3500$，$n\le 10^9,P\le 30000$
题解：旋转i次的循环个数显然是$gcd(i,n)$，然后套用Pólya定理。
$$ans=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)}$$
$$ans=\sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)-1}$$
$$ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|n}n^{d-1}[gcd(i,n)=d]$$
$$ans=\sum\limits_{d|n}n^{d-1}\sum\limits_{i=1}^{n\over d}[gcd(i,{n\over d})=1]$$
$$ans=\sum\limits_{d|n}n^{d-1}\varphi({n\over d})$$
枚举约数即可。
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100010;
typedef long long ll;
int n,P,T,m,ans;
int cnt[100],pri[100];
inline int phi(int x)
{
int i,ret=1;
for(i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
{
ret=ret*(i-1),x/=i;
while(x%i==0) ret=ret*i,x/=i;
}
if(x>1) ret=ret*(x-1);
return ret;
}
inline int pw(int x,int y)
{
x%=P;
int z=1;
while(y)
{
if(y&1) z=z*x%P;
x=x*x%P,y>>=1;
}
return z;
}
void dfs(int x,int d)
{
if(x==m+1)
{
ans=(ans+phi(n/d)%P*pw(n,d-1))%P;
return ;
}
for(int i=0;i<=cnt[x];i++,d*=pri[x]) dfs(x+1,d);
}
void work()
{
scanf("%d%d",&n,&P),ans=m=0;
int i,t=n;
for(i=2;i*i<=t;i++) if(t%i==0)
{
cnt[++m]=0,pri[m]=i;
while(t%i==0) t/=i,cnt[m]++;
}
if(t>1) pri[++m]=t,cnt[m]=1;
dfs(1,1);
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--) work();
return 0;
}//1 2 30000