多重背包（二进制优化）

Posted 2021-03-18 lipu123

链接：https://www.acwing.com/problem/content/5/

有 N种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10


解题思路：把多重背包变成01背包
二进制优化：如果说把其物品都分成一分的话，会超时，
所以其子问题就是:一个数n,最少要多少个数才能把从1-n中的所有数表示出来；
答案是：log2（n)上取整个数
如：7的 1 2 4（2^0 2^1 2^2) 
上面7是个特殊的例子：
再如10：如果用 1 2 4 8 表示的话会超过10
所以用1 2 4 3（10-1-2-4）
AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 20110;
int v[N],w[N],s[N];
int dp[N];
int main()
{
    int n,m,v1,w1,s,cut=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v1>>w1>>s;
        int k=1;
        while(k<=s){
            cut++;
            v[cut]=v1*k;
            w[cut]=w1*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0){
            cut++;
            v[cut]=v1*s;
            w[cut]=w1*s;
        }
    }
    n=cut;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]); 
        }
    }
    printf("%d",dp[m]);    
} 

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