动态规划背包问题总结：01完全多重与其二进制优化分组背包 题解与模板

Posted 2022-03-18 karshey

来自AcWing算法基础课。

AcWing 2.01背包问题

AcWing 2. 01背包问题
写得贼好的题解：AcWing 2. 01背包问题（状态转移方程讲解）
我的打卡
二维的背包代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
int n,m;//物品数，背包容量 
int v[N],w[N];
int dp[N][N];//dp[i][j]表示拿了前i个东西，背包容量为j时的最大价值 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n) cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
		
			if(j<w[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];
			else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		
	cout<<dp[n][m];
	return 0;

关于想要变成一维：来自上面的题解

将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

（1）状态f[j]定义：N 件物品，背包容量j下的最优解。

（2）注意枚举背包容量j必须从m开始。

（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i -1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。

（4）例如，一维状态第i轮对体积为 3 的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第i轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。

（5）简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」，逆序则不会有这样的问题。

状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]) 。
作者：深蓝
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1374/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

一维代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
int n,m;//物品数，背包容量 
int v[N],w[N];
int dp[N];//dp[i]表示拿了前N个东西，背包容量为i时的最大价值 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n) cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		//如果要进行状态转移，那么背包容量要大于物品体积，不然不会发生改变 
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
		
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);//j容量，i物品 
		
	cout<<dp[m];
	return 0;

AcWing 3. 完全背包问题

题
写的贼好的题解
我的打卡

二维：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
int n,m;//物品数，背包容量 
int v[N],w[N];
int dp[N][N];//dp[i][j]表示拿了前i个东西，背包容量为i时的最大价值 
int main()

    cin>>n>>m;
    fir(i,1,n) cin>>w[i]>>v[i];

    for(int i=1;i<=n;i++)       
        for(int j=0;j<=m;j++)//大的状态由小的状态得来，所以循环要从小到大 
        
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
        
    cout<<dp[n][m];
    return 0;

一维:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
int n,m;//物品数，背包容量 
int v[N],w[N];
int dp[N];//dp[i]表示拿了前N个东西，背包容量为i时的最大价值 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n) cin>>w[i]>>v[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		//如果要进行状态转移，那么背包容量要大于物品体积，不然不会发生改变 
		for(int j=w[i];j<=m;j++)
		
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);//j容量，i物品 
		
	cout<<dp[m];
	return 0;

可以看到，完全背包和01背包的代码和空间优化方法十分类似。
不同在于：
01背包的一维中，j是从m到w[i]递减的，完全背包的j是从w[i]到m递增的。 原因是：（来自上述题解的评论区）

01背包更新f[i][j] 用的是 f[i-1][j - v] 和 f[i-1][j],完全背包更新用的是f[i][j - v] 和 f[i- 1]f[j]，在一维中 f[i-1][j] 就是 f[j]， 而01背包的f[i-1][j-v]是i-1层 ， 更新的时候第i层下标大的用第i-1层下标小的 ，需要逆序枚举，完全背包的f[i][j-v] 就是用的第i层，更新的时候第i层下标大的用第i层下标小的，需要正序枚举。

我的理解：
对于从之前的更新到现在的，完全背包是max(从之前的不拿，到现在的狂拿)，01背包是max(从之前的不拿，从之前的拿)。

对于完全背包来说，要状态转移是从本层状态再拿东西（即物品i不变，对物品i狂拿），即f[i][j]由f[i][j-w]更新而来，即由本层更新过来；
而01背包的一维中，都从上一层状态转移过来（f[i][j]由f[i-1][j],f[i-1][j-v]更新而来），即由i-1层状态转移过来。

完全背包从本层更新，而每个本层是从小到大累计的，所以要顺序；
01背包由上一层更新，因此每一层更新都要保证上一层是“原始的”，所以要逆序。

AcWing 4. 多重背包问题

AcWing 4. 多重背包问题
打卡

如果空间允许的话，把多重背包问题拆成01背包问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10;
int n,m;
int dp[N];//dp[i]表示背包容量为i时的最大价值
int v[N],w[N]; 
int idx1,idx2;
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n)
	
		int a,b,c;cin>>a>>b>>c;
		while(c--)
		
			w[idx1++]=a;v[idx2++]=b;
		
	
	
	for(int i=0;i<idx1;i++)
		for(int j=m;j>=w[i];j--)		
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		
	cout<<dp[m];
	return 0;

AcWing 5. 多重背包问题 II

AcWing 5. 多重背包问题 II
参考题解1：AcWing 5. 二进制优化，它为什么正确，为什么合理，凭什么可以这样分？？
参考题解2：AcWing 5. 多重背包问题 II

二进制优化多重背包问题代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10,M=2e3+100;
int n,m;
int w[N],v[N];//逐一枚举最大是N*logS
int dp[M];
int cnt;//组别 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n)
	
		int a,b,c;cin>>a>>b>>c;
		int k=1;
		while(k<=c)
		
			cnt++;
			w[cnt]=a*k;
			v[cnt]=b*k;
			c-=k;
			k*=2;
		 
		if(c)
		
			cnt++;
			w[cnt]=a*c;
			v[cnt]=b*c;
		
	
	
	n=cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	
	cout<<dp[m];
	return 0;

AcWing 9. 分组背包问题

AcWing 9. 分组背包问题
参考题解：AcWing 9. 分组背包问题
我的打卡
二维：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e2+10;
int n,m;
int s[N];//组号
int dp[N][N],w[N][N],v[N][N];//第i组的第j个 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n)
	
		cin>>s[i];
		for(int j=1;j<=s[i];j++)
			cin>>w[i][j]>>v[i][j];
	
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
		
			dp[i][j]=dp[i-1][j];//先不选
			//一组里只能选一个 
			for(int k=1;k<=s[i];k++)
			
				if(j>=w[i][k]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i][k]]+v[i][k]);
			 
		
	cout<<dp[n][m];
	return 0;

一维优化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e2+10;
int n,m;
int s[N];//组号
int dp[N],w[N][N],v[N][N];//第i组的第j个 
int main()

	cin>>n>>m;
	fir(i,1,n)
	
		cin>>s[i];
		for(int j=1;j<=s[i];j++)
			cin>>w[i][j]>>v[i][j];
	
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=m;j>=0;j--)
					
			//一组里只能选一个 
			for(int k=1;k<=s[i];k++)
			
				if(j>=w[i][k]) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i][k]]+v[i][k]);
			 
		
	cout<<dp[m];
	return 0;