动态规划训练之九

Posted 2020-11-15 wzxbeliever

首先能够想到是状压dp模板

取dp[state，i，j]表示state状态下倒数第二个岛为i，最后一个岛为j时的最优解，

num[state，i，j]为相应的路径数目，其中state的二进制表示的i位为1表示岛i被访问过，反之为0。
则显然当有边(i,j)存在时，有如下初值可赋：
**dp[(1<<i)+(1<<j)，i，j]=val[i]+val[j]+val[i]*val[j],num[(1<<i)+(1<<j)，i，j]=1。
如果状态（state,i,j）可达，检查岛k，如果此时k没有被访问过并且有边(j,k)存在，则做如下操作：
1）设tmp为下一步访问岛k时获得的总利益，r=state|(1<<k)。
2）如果tmp>dp[r,j,k]，表示此时可以更新到更优解，则更新：
dp[i,j,k]=tmp;**

num[r,j,k]=num[state,i,j]。
3）如果tmp==dp[r,j,k]，表示此时可以获得达到局部最优解的更多方式，则更新：
num[r,j,k]+=num[state,i,j]。

类似于最短路计数

最后检查所有的状态（(1<<n)-1,i,j），叠加可以得到最优解的道路数。
需要注意的是，题目约定一条路径的两种行走方式算作一种，所以最终结果要除2。

code（写的很清晰，很明了，看起来式子很吓人，其实不难）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int n,m;
int val[15],map[13][13];
int dp[1<<13][13][13];  //dp[state][i][j]表示state状态下倒数第二个岛为i，最后一个岛为j时的最优解
long long num[1<<13][13][13];   //num[state][i][j]为相应的路径数目

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        memset(map,0,sizeof(map));
        int u,v;
        while(m--){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            u--;v--;
            map[u][v]=map[v][u]=1;
        }
        if(n==1){
            printf("%d 1
",val[0]);
            continue;
        }
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(i!=j && map[i][j]){
                    dp[(1<<i)|(1<<j)][i][j]=val[i]+val[j]+val[i]*val[j];
                    num[(1<<i)|(1<<j)][i][j]=1;
                }
        for(int i=0;i<(1<<n);i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                if((i&(1<<j))!=0)
                    for(int k=0;k<n;k++)
                        if(map[j][k] && j!=k && (i&(1<<k))!=0 && dp[i][j][k]!=-1)   
                            for(int x=0;x<n;x++)
                                if(map[k][x] && j!=x && k!=x && (i&(1<<x))==0){
                                    int tmp=dp[i][j][k]+val[x]+val[k]*val[x];
                                    if(map[j][x])
                                        tmp+=val[j]*val[k]*val[x];
                                    if(dp[i|(1<<x)][k][x]<tmp){
                                        dp[i|(1<<x)][k][x]=tmp;
                                        num[i|(1<<x)][k][x]=num[i][j][k];
                                    }else if(dp[i|(1<<x)][k][x]==tmp)
                                        num[i|(1<<x)][k][x]+=num[i][j][k];
                                }
        int ans1=0;
        long long ans2=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                if(i!=j && map[i][j]){
                    if(ans1<dp[(1<<n)-1][i][j]){
                        ans1=dp[(1<<n)-1][i][j];
                        ans2=num[(1<<n)-1][i][j];
                    }else if(ans1==dp[(1<<n)-1][i][j])
                        ans2+=num[(1<<n)-1][i][j];
                }
        cout<<ans1<<" "<<ans2/2<<endl;
    }
    return 0;
}