完全背包

Posted 2021-03-16 iuppiter

什么是完全背包

         完全背包，就是在背包容量有限的情况下，每件物品可以选无数多件。

如何求解完全背包

         完全背包和01背包一样，拥有最优子结构。所以也可以用动态规划来解。

还是先确定动态转移方程，把01背包的转移方程进行发展，可以得到

f(n,m)=max{f(n-1,m-k×w[n] )+k×v[n] │ 0≤k×w[n]≤M}

K表示选k件n类物品。其实01背包也可以用这个递推式来解的，只是k非0即1。

优化动态转移矩阵

         如何优化这个转移矩阵呢？我们先回顾一下01背包是怎么优化的？我们把二维矩阵优化成一维数组，但是在计算时m要逆序。为怎么呢？因为第n件物品是不能复选的。

         那我们在来看看如果m不逆序会发生什么？

我先们来看看“上次计算的结果”是什么呢？“上次计算的结果”无非是两种情况

f[n-2][m]
或者是
f[n-2][m-w[n-1] ]+v[n-1]

先考虑第二种情况叠加的情况，就会发现。。。我们根本没法叠加。但是如果我们把转移式改成

f[n][m]=max{f[n-1][m],f[n][m-w[n]]+v[n]}

就可以叠加了（就是后面那个n不减了）。结果发现这和

f(n,m)=max?{f(n-1,m-2×w[n] )+2×v[n]}

是等价的。那不就正好达到了取2件i物品的目的吗。在这样叠加上去，就和取k件i物品就等价了。这时候你可能会产生这样一个问题，如果像我这样选的话，那k就是有限大的，最大就是M（这是由M次的循环所导致的）。这不是有违完全背包的定义吗？不会的，因为就算物品是无限的，但是你的背包容量是有限的。最大不可能超过M/w[n]件。所以不可能出现问题。

         再次强调m在这里要顺序，就像这样：

memset(f,0,sizeof f);  
for (int n = 0; n < N; ++n) {  
    for (int m = 0; m < M; ++m) {  
        f[m] = max(f[m], f[m - w[n]] + v[n])  
    }  
}  

转化成01背包

         上面的解释你可能根本没看懂。不要紧，你只要能理解01背包，完全背包就不是问题。因为完全背包可以转化为01背包！

         我们在上面看到，虽然物品数量是有限的，但是由于背包容量有限，所以可选的物品也是有限的。选第n种物品的最大数量是M/w[n]。那我们就可以把M/w[n]件物品全部拆开，使用01背包的递推式求解。

         但是上面的方法有一个缺陷，那就是如果M很大的话，dp的复杂度会大得惊人。于是我们需要一个更高效的转化方法。

         当然，转化的总方针是不会变的，就是拆拆拆。把一中物品拆成多件物品。我们只是要找到一种更高效拆的方法。

         这时候我们会想到二进制。我们可以把单件物品“打包”，打包成2的k次幂件的“套装”。这样我们既可以保证完备性，又可以大大降低复杂度。核心代码如下

int n1 = 0;
while (s>=t) {
            v[++n1]=x*t;                        //相当于n1++;  v[n1]=x*t;
            w[n1]=y*t;
            s-=t;
            t*=2;
}