模板线性基

Posted 2021-03-14 ty02

线性基

定义：给定数集(S)，以异或运算张成的数集与(Span{S})相同的极大线性无关集，称为原数集的一个线性基。
线性基具有以下性质：

1. 显然，线性基是原数集的一个子集。
2. 线性基的张成集合中一般不包含有数字0。一般给定的数集中不会有0，否则在线性基中加入0即可。
3. 张成集合中的每个数都可以唯一表示成基的线性组合。这与第一点是统一的。
4. 将线性基中的一个元素通过“倍加变换”（在这里即异或上另一个元素），张成集合不变。
5. 线性基中每一个元素的最高位均不同。

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由以上性质不难看出，线性基与线性方程组有一些相似之处。事实上，如果把原数集的每一个元素二进制拆分为多项式，把每一项的系数看作一个向量，将所有系数向量看作一个矩阵的行，那么这个构造出的矩阵就可以看作某个线性方程组的系数矩阵。也就是说，对这个矩阵施以异或意义下的初等行变换，即将某些行消成0行，形成的新矩阵与原矩阵行等价。这给了性质5一个很好的阐释：每个元素的最高位对应的是该系数矩阵化为阶梯形后的主元位置，而主元可以将其他行的该项通过行变换消去，结合异或的性质就不难理解了。
以上基于线性代数的讨论表明，可以使用类似高斯消元的行化简算法求得原数集的一个线性基。把每个行向量压成一个数处理，时间复杂度(O(n^2))。
具体来说，对于每一个新加入的数x，我们从高位到低位枚举；如果x的第i位是1（即对应方程左边含有这个元素），并且之前没有出现过该位是1的元素，我们就将x插入线性基（即以这一行作为主元(x_i)的所在行）；否则将x异或掉之前出现过的p[i]，继续看下一位，直到x被插入或x变为0（即x可以表示为已有基的线性组合）结束。

插入函数代码：

void insert(long long x) {
    for (int i = 60; i >= 0; --i) 
        if ((x >> i) & 1) {
            if (!p[i]) {
                p[i] = x; break;
            }
            x ^= p[i];
        }
}

luoguP3821
（题解引自洛谷）

先用高斯消元求得一组线性基。由高斯消元可得，该线性基中，主元所在位为1的向量是唯一的。接下来我们可以从高位到低位贪心了。假设现在在考虑第(i)个向量(a_i)（向量降序），其最高位是(x),前(i-1)个向量异或得到的最大整数为(res)。
如果(res)的第xx位是0，则令(res xor a_i)，否则不改变(res)。接下来考虑这种做法的正确性。
如果(res)的第(x)位是0但不改变(res)，而改变得到(res′)。由于向量降序，比x更高的位和x这一位无法再改变。即使(res)接下来的位全部是1，也没有(x)这一位是1大，即得到(res<res')。因此操作1正确。
如果(res)的第(x)位是1但改变(res)，得到(res')，由于向量降序，比x更高的位和x这一位无法再改变。即使(res')接下来的位全部是1，也没有x这一位是1大，即得到(res'<res)。因此操作2正确。
证毕。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
long long p[70], x;
int n;
void insert(long long x) {
    for (int i = 60; i >= 0; --i) 
        if ((x >> i) & 1) {
            if (!p[i]) {
                p[i] = x; break;
            }
            x ^= p[i];
        }
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> x, insert(x);
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 60; i >= 0; --i)
        if ((ans ^ p[i]) > ans) ans ^= p[i];
    cout << ans;
    return 0;
}