[模板]线性基

Posted 2021-01-24 ressed

用途

处理关于子集的异或和的问题，比如子集异或和的最大值，或者能不能异或出某个数

原理

从一堆数中处理出一组线性无关(?)的数，使得这些数能异或出的数和原来能异或出的数相同

线性基中，以每个位置为最高位1的数(最多)只有一个，这样就保证了线性无关

做法

依次处理每个数，对于x，从大到小扫描它的每一位，当扫到第i位为1时：

　　若线性基中没有最高位为i的数，则把x插到线性基中，结束扫描

　　若有，则把x异或上那个数，继续做

这样做，如果一个数最终没有被插入线性基中，证明它已经能被线性基中的数表示

而插到线性基中的数，也一定是几个原数的异或和

 

最后我如果想找能异或出的最大的数，那就从高到低扫线性基中的每个数，如果异或上能使答案变大，就异或上，毕竟机不可失时不再来

例题

luogu3812

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 3 #define MP make_pair
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 typedef unsigned long long ull;
 7 typedef pair<int,int> pa;
 8 const int maxn=55;
 9 
10 inline ll rd(){
11     ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
12     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();}
13     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
14     return x*neg;
15 }
16 
17 int N;
18 ll a[maxn],x[maxn];
19 
20 int main(){
21     //freopen("","r",stdin);
22     int i,j,k;
23     N=rd();
24     for(i=1;i<=N;i++) a[i]=rd();
25     for(i=1;i<=N;i++){
26         for(j=50;j>=0;j--){
27             if(a[i]&(1ll<<j)){
28                 if(!x[j]){
29                     x[j]=a[i];break;
30                 }else a[i]^=x[j];
31             }
32         }
33     }
34     ll ans=0;
35     for(i=50;i>=0;i--){
36         if((ans^x[i])>ans) ans^=x[i];
37     }
38     printf("%lld
",ans);
39     return 0;
40 }

如果您像我一样容易忘记写break的话，可以考虑不写else，反正如果我这次插进去了，再异或上我自己就变成了0，就相当于break了