中国剩余定理

Posted 2020-11-15 wronin

问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二（除以7余2），问物几何？

解法：

1：从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15。

2：用70乘2，21乘3，15乘2，相加得233。

3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23。这个余数23就是符合条件的最小数。

 

分析：

设x为满足除3余2的数，y为满足除5余3的数，z为满足除7余2的数

x能否使x+y仍满足除3余2，x+y+z仍满足？

由一个定理：如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c。

知道，如果y是3的倍数，则x+y满足除3余2，同理，z也是3的倍数，则x+y+z满足除3余2.

所以：

使x+y+z满足除3余2，y和z必须是3的倍数

使x+y+z满足除5余3，x和z必须是5的倍数

使x+y+z满足除7余2，x和y必须是7的倍数

最终解：

x除3余2，且是5和7的公倍数

y除5余3，且是3和7的公倍数

z除7余2，且是3和5的公倍数

本质：

从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数x，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数y，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数z，再将三个数相加得到解

求x、y、z时，例如求x，并非从5和7的公倍数中直接找一个除3余2的数，而是先找一个数除3余1，再乘2

（如果a%b=c,那么(a*k)%b=kc）

x+y+z并不是最小解，从中最大程度的减掉3，5，7的公倍数即可。

 

（m两两互质）

设M为m的乘积，Mi = M / mi

设ti = 1 / Mi

解：

x=（Σai*ti*Mi）mod M

void exgcd(int a1,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) { x=1; y=0; return ; }
    exgcd(b,a1%b,x,y);
    int t=x; x=y;
    y=t-(a1/b)*y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n) {
    int M=1,ans=0,t,x,y;
    for(int i=0; i<n; i++)  M*=m[i];
    for(int i=0; i<n; i++) {
        t=M/m[i];///除了mi以外的n-1个整数乘积
        exgcd(t,m[i],x,y);///求逆元，由扩展欧几里得转换成t*ti+m[i]*y=1来求ti
        ans=(ans+a[i]*x*t)%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}

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扩展中国剩余定理

（m不互质）

ll res[maxn], A[maxn];
ll mul(ll a, ll b, ll mod) {
    ll res = 0;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (res + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
    ll gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll tp = x; x = y; y = tp - a / b * y;
    return gcd;
}
ll excrt() {
    ll x, y, k;
    ll M = A[1], ans = res[1];
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        ll a = M, b = A[i], c = (res[i] - ans%b + b) % b;
        ll gcd = exgcd(a, b, x, y), tmp = b / gcd;
        if (c % gcd != 0) return -1;
        x = mul(x, c/gcd, tmp); 
        ans += x * M; 
        M *= tmp;
        ans = (ans%M + M) % M;
    }
    return (ans%M + M ) % M;
}

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