剑指Offer对答如流系列 - 从1到n整数中1出现的次数

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面试题43:从1到n整数中1出现的次数

题目描述

输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12,从1到12这些整数中包含1 的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

问题分析

最容易想到的思路是通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1。代码书写也很简单,但是如果输入的整数n比较大的时候,会有大量的运算。

1是由于数字递增出现的,而十进制影响这种出现的周期性。这本身肯定存在规律,重要的是耐心寻找,不要妄想一次性就找出来,下面的规律要比《剑指Offer》书上提到的更好点。

我们以12043来进行分析。我们从个位开始,一直到最高位,统计每一位上的1出现的次数。

我们将数字拆分成三部分,高位high,当前位cur和低位low

  1. 当当前位为个位的时候,high是1204、cur是3、low不存在,设置为0。个位数为1的情况有00001 - 12041,一共是1204+1种情况。

  2. 当当前位为十位的时候,high是120、cur是4、low是3,十位数字为1的情况:先考虑低位有 00010 - 00019(10种)、再综合考虑:0001X-1201X,一共是(120+1)* 10种情况。

  3. 当当前位为百位的时候,high是12、cur是0、low是43,百为数字为1的情况:先考虑低位有00100 - 00199(100种),再综合考虑:000XXX-110XXX,一共是(11+1)*100种情况,注意因为不存在121XXX,最高为111XXX

  4. 当当前位为千位的时候,high为1、cur是2、low是043,千位数字为1的情况:先考虑低位有01000 - 01999(1000种),在综合考虑:01XXXX - 11XXXX,一共是(1+1)*1000种情况

  5. 当当前位为万位的时候,high是0、cur是1、low是2043,万位数字为1的情况:先考虑低位有10000-12043,一共是2043+1种情况。

当cur为0和1的时候需要特殊处理,其他值的时候常规处理。

再举一个数字21034

  1. 当前位的数字等于0时,例如n=21034,在百位上的数字cur=0,百位上是1的情况有:00100-00199,01100-01199,……,20100~20199。一共有21*100种情况,即high*100;

  2. 当前位的数字等于1时,例如n=21034,在千位上的数字cur=1,千位上是1的情况有:01000-01999,11000-11999,21000-21034。一共有2*1000+(34+1)种情况,即high*1000+(low+1)。

  3. 当前位的数字大于1时,例如n=21034,在十位上的数字cur=3,十位上是1的情况有:00010-00019,……,21010-21019。一共有(210+1)*10种情况,即(high+1)*10。

对于整数n,其位数一共有lgn个,所以时间复杂度为O(logn)。

问题解答

    public int NumberOf1Between1AndN(int n) {
        int count=0;
        // i代表位数
        for(int i=1;i<=n;i*=10){
            //高位数字
            int high=n/(i*10);
            //低位数字
            int low= n%i;
            //当前位数字
            int cur=(n/i)%10;

            if(cur==0) {
                count+=high*i;
            } else if (cur==1){
                count+=high*i+(low+1);
            } else {
                count+=(high+1)*i;
            }
        }
        return count;
    }

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