剑指Offer对答如流系列 - n个骰子的点数
Posted jefferychenxiao
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了剑指Offer对答如流系列 - n个骰子的点数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
面试题60:n个骰子的点数
题目描述
把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概率。
问题分析
这个问题需要点高中数学的知识。
对于n个骰子,要计算出每种点数和的概率,我们知道投掷n个骰子的总情况一共有6^n种,因此只需要计算出某点数和的情况一共有几种,即可求出该点数之和的概率。
思路一:递归暴力
我们知道点数之和s的最小值为n,最大值为6*n,因此考虑用一个大小为(6*n-n+1)的数组存放不同点数之和的情况个数,那么,如果点数之和为x,那么把它出现的情况总次数放入数组种下标为x-n的元素里。
确定了如何存放不同点数之和的次数之后,我们要计算出这些次数。我们把n个骰子分为1个骰子和n-1个骰子,这1个骰子可能出现1~6个点数,由该骰子的点数与后面n-1个骰子的点数可以计算出总点数;而后面的n-1个骰子又可以分为1个和n-2个,把上次的点数,与现在这个骰子的点数相加,再和剩下的n-2个骰子的点数相加可以得到总点数……,即可以用递归实现。在获得最后一个骰子的点数后可以计算出几个骰子的总点数,令数组中该总点数的情况次数+1,即可结束遍历。
可以感受到,计算量实在太大了,效率会比较低。
思路二:动态规划
剑指Offer的解答过于繁琐与复杂。这里提供一种相对理解简单,容易实现的方法。
我们通过分析能够发现 n个骰子的点数依赖于n-1个骰子的点数,相当于在n-1个骰子点数的基础上再进行投掷。
由此定义状态转移方程为f(n,k)表示n个骰子点数和为k时出现的次数,于是可得:
f(n,k)=f(n?1,k?1)+f(n?1,k?2)+f(n?1,k?3)+f(n?1,k?4)+f(n?1,k?5)+f(n?1,k?6)
其中 n>0且k<=6n,f(n?1,k?i)表示的是第n次掷骰子时,骰子的点数为i对应的情况
从k?1到k?6分别对应第n次掷骰子时骰子正面为1到6的情况。而初始状态可以定义为:
f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1
问题解答
思路一:
private final int maxValue = 6;
public void printProbability1(int number) {
if(number<=0) {
return;
}
int[] probabilities = new int[maxValue*number-number+1];
Arrays.fill(probabilities,0);
//计算不同点数出现的次数
for(int i=1;i<=maxValue;i++) {
//第一次掷骰子,总点数只能是1~maxValue(即6)
calP(probabilities, number, number-1, i);
}
//所有情况总共出现的次数
int totalP = (int) Math.pow(maxValue, number);
for(int i=0; i<probabilities.length; i++) {
double ratio = (double)probabilities[i]/totalP;
NumberFormat format = NumberFormat.getPercentInstance();
format.setMaximumFractionDigits(2);//设置保留几位小数
System.out.println("点数和为"+(i+number)+"的概率为:"+format.format(ratio));
}
}
private void calP(int[] probabilities, int number, int curNumber, int sum) {
if(curNumber==0) {
probabilities[sum-number]++; //总数为sum的情况存放在sum-number下标中
return;
}
for(int i=1; i<=maxValue; i++) {
// 相当于剩余的骰子少一个,总点数增加。
calP(probabilities, number, curNumber-1, sum+i);
}
}
思路二:
public void printProbability(int number) {
double total = Math.pow(6,number);
for(int i=number; i<=6*number; i++) {
double ratio = (double)getNSumCount(number,i)/total;
NumberFormat format = NumberFormat.getPercentInstance();
format.setMaximumFractionDigits(2);//设置保留几位小数
System.out.println("点数和为"+getNSumCount(number,i)+"的概率为:"+format.format(ratio));
}
}
private int getNSumCount(int n, int sum) {
if(n<1 || sum<n || sum>6*n) {
return 0;
}
if(n==1) {
return 1;
}
int resCount;
resCount = getNSumCount(n-1,sum-1)+getNSumCount(n-1,sum-2)+
getNSumCount(n-1,sum-3)+getNSumCount(n-1,sum-4)+
getNSumCount(n-1,sum-5)+getNSumCount(n-1,sum-6);
return resCount;
}
以上是关于剑指Offer对答如流系列 - n个骰子的点数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
《剑指offer》 面试题43 n个骰子的点数 (java)
LeetCode(剑指 Offer)- 60. n个骰子的点数