剑指Offer对答如流系列 - 剪绳子

Posted 2021-03-13 jefferychenxiao

面试题13：剪绳子

题目描述

　给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n＞1并且m＞1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

问题分析

（1）思路一：动态规划

遇到问题，先分析问题，由分析的结果确定所运用的算法。

一般而言，我们都会在纸上动笔画画，罗列一些基本的情况。

题中说n＞1并且m＞1，那么

• 当n=2时，最大乘积只能为1，只有一种情况1*1；
• 当n=3时，最大乘积只能为2，有两种情况，1*2，1*1*1；
• 当n=4时，可以分为如下几种情况:1*1*1*1，1*2*1，1*3，2*2，最大乘积为4；
• 当n=x时，剪第一刀的时候，我们有x-1种可能的选择，也就是剪出的一段绳子的长度为1、2、...、x-1

参考n= x的情况，如果把长度n绳子的最大乘积记为f(n)，则有：f(n)=max(f(i)*f(n-i))，0<i<n。

当你分析到这个的时候，思路就得到了一层的突破：从下往上推，先算小的问题，再算大的问题，大的问题通过寻找小问题的最优组合得到。这个不就是动态规划吗？

动态规划算法的定义是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

既然写到了动态规划，那我就将我所知道的都告诉你：

关于动态规划算法定义的理解

• 关于拆分问题 ： 就是根据问题的性质把问题划分。（我们上述基本情况的讨论，最后得出n = x的普遍情况，走的就是这一步）
• 关于定义问题状态和状态之间的关系： 也就是上面拆分的步骤之间的关系,用一种量化的形式表现出来，这种形式一般可以说是递推式（我们最后得出的f(n)=max(f(i)*f(n-i))，0<i<n 就是走的这一步）

至于算法思想的理解，我们解答中探讨

（2）思路二：贪心

这个涉及到一个数学模型，原本的定义非常宏大和复杂，这里不多赘述，我们这里只是涉及到一丁点的应用，你有个印象即可。

我们之前也讨论了，刚才的递推式f(n)=max(f(i)*f(n-i))，0<i<n。 是以n =2、n =3 为基石的。

对于任意一个大于或者等于5的数字，都可分解为加数 2 和 3的和。（这个小学数学就能证明，不证明了哈）

递推式涉及到乘积，很容易注意且能证明3(length-3)>2(length-2)，因此要想乘积最大，尽可能分出更多的加数3

除了上述所说的，我们还有一个特殊的数字就是4，当length=4的时候，13<22=4，所以length=4的时候不用再分。

局部最优能保证整体最优，贪心算法写起来要比动态规划简单多了。

问题解答

（1）动态规划算法的实现

     /**
     * @param length 输入的绳子的长度
     * @return 乘积的最大值
     * 动态规划的算法思想：
     * 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。
     * 在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
     */
    public int maxProductAfterCutting(int length) {
        // 递推式： f(n)=max(f(i)*f(n-i))，0<i<n 
        if (length <= 1)
            return 0;
        if (length == 2)
            return 1;
        if (length == 3)
            return 2;
        // 存储最优解
        int[] product = new int[length + 1];
        // 下面几个不是乘积，因为其本身长度比乘积大
        product[0] = 0;
        product[1] = 1;
        product[2] = 2;
        product[3] = 3;

        // 开始从下到上计算长度为i绳子的最大乘积值product[i]
        for (int n = 4; n <= length; n++) {
            int max = 0;
            // 算不同子长度的乘积，找出最大的乘积
            // 这就是算法中 找到 最优解 步骤
            for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
                if (max < product[i] * product[n - i])
                    max = product[i] * product[n - i];
            }
            // 把最优解保存下来(为了后面的使用的最优解，为局部最优解)
            product[n] = max;
        }
        return product[length];
    }

（2）贪心算法的实现

  public int maxProductAfterCutting(int length) {
        if (length <= 1)
            return 0;
        if (length == 2)
            return 1;
        if (length == 3)
            return 2;
        // 确定分解成一段段长度为3的绳子的个数
        int timesOfThree = length / 3;
        if (length - timesOfThree * 3 == 1) {
            timesOfThree--;
        }
        int timesOfTwo = (length - timesOfThree * 3) / 2;
        return (int) (Math.pow(3, timesOfThree) * Math.pow(2, timesOfTwo));
    }