剑指Offer对答如流系列 - 圆圈中最后剩下的数字

Posted 2021-03-13 jefferychenxiao

面试题62：圆圈中最后剩下的数字

题目描述

0, 1, …, n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前四个数字是2 0 4 1 因此最后剩下的数字是3

问题分析

思路一：
既然涉及到数据的频繁删除，可以考虑使用链表来存放数据，每次对长度取余数可以实现循环操作。

思路二：
这种问题规律性非常强，其实已经有对这一规律背后的数学模型的探究，即约瑟夫环

举一个具体的场景：
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏

上面这个场景与我们遇到的这个面试题仿佛。

那么我们看看如何解决约瑟夫环场景的问题：

n个数字的圆圈，不断删除第m个数字，可以将最后剩下的数字记为f(n,m)。

n个数字中第一个被删除的数字是(m-1)%n， 我们记作k，k=(m-1)%n。

那么剩下的n-1个数字就变成了：0,1,……k-1,k+1,……,n-1，我们把下一轮第一个数字排在最前面，并且将这个长度为n-1的数组映射到0~n-2。

原始数字：k+1,……, n-1, 0, 1,……k-1

映射数字：0 ,……,n-k-2, n-k-1, n-k,……n-2

把映射数字记为x，原始数字记为y，那么映射数字变回原始数字的公式为 y=(x+k+1)%n。

在映射数字中，n-1个数字，不断删除第m个数字，由定义可以知道，最后剩下的数字为f(n-1,m)。我们把它变回原始数字，由上一个公式可以得到最后剩下的原始数字是（f(n-1,m)+k+1)%n，而这个数字就是也就是一开始我们标记为的f(n,m)，所以可以推得递归公式如下：

f(n,m) =（f(n-1,m)+k+1)%n

将k=(m-1)%n代入，化简得到：

f(n,m) =（f(n-1,m)+m)%n

f(1,m) = 0

代码中可以采用循环或者递归的方法实现该递归公式。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

问题解答

思路一：

    public int LastRemaining(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1) {
            return -1;
        }
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
        for(int i=0;i<n;i++) {
            list.add(i);
        }
        int removeIndex=0;
        while(list.size()>1){
            removeIndex=(removeIndex+m-1)%list.size();
            list.remove(removeIndex);
        }
        return list.getFirst();
    }

思路二：

   public int LastRemaining(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1) {
            return -1; 
        }
        
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)% i;  
        }
        return last;
    }