普里姆算法与修路问题

Posted 2021-03-08 cnng

应用场景-修路问题

 

 

看一个应用场景和问题：

 

1. 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

 

最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1. 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
2. N个顶点，一定有N-1条边
3. 包含全部顶点
4. N-1条边都在图中
   1. 举例说明(如图:)

求最小生成树的算法主要是普里姆

算法和克鲁斯卡尔算法

思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.

正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少. 

普里姆算法介绍

1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
2. 普利姆的算法如下:
3. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 
4. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
5. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
6. 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
7. 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

普里姆算法最佳实践(修路问题)

1. 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

 

普里姆算法的图解分析

 

 

邻接矩阵的关系

核心代码  不理解就 对着图（邻接矩阵的关系或显示的那个邻接矩阵  其实二者是一样的） 走一遍流程  要理解那三层for循环  和那个if的意思 

 

    //编写prim算法，得到最小生成树
    /**
     * 
     * @param graph 图
     * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成‘A‘->0 ‘B‘->1...
     */
    public void prim(MGraph graph, int v) { //传过来一个图 和从那个结点开始访问
            //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
            int visited[] = new int[graph.verxs]; //和顶点个数是一样的
            //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
    //        for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
    //            visited[i] = 0;
    //        }
    
    //把当前这个结点标记为已访问
    visited[v] = 1; //之前输入了结点 就表示已经访问过了
    //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
    int h1 = -1;
    int h2 = -1;
    int minWeight = 10000; //最小权   //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
    for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
            
            //这两个for 就是A B C D E F G-所有可访问的结点 找一个最小的权
              //外层 A B C  D E F G 循环结点
                    //内层-所有可访问的结点 找一个最小的权 A [0][1] [0][2][0][3]…一个个比较
            //两层for走完 找到一个权最少的边
            //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近 
            // 子图   画图就是这样的  A-C  A-G A-B等等  代码中这样的 [0][1] [0][2] [0][3] [0][4] 
            
            //第一次 只有v[0]=1 第一次完了才有v[6]=1所以第二次 就有v[0]=1 v[6]=1 代表 这两个结点 被访问了 
            //不然 那个if 进不去 
            
            for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点  
                    for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
                            if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                                    //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                                    minWeight = graph.weight[i][j];
                                    h1 = i;
                                    h2 = j;
                            }
                    }
            }
            //找到一条边是最小
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已经访问
            visited[h2] = 1;
            //minWeight 重新设置为最大值 10000
            minWeight = 10000;
    }
    
    }
    

修路问题完整代码

    package com.atguigu.prim;
    
    import java.util.Arrays;
    
    public class PrimAlgorithm {
    
            public static void main(String[] args) {
                    //测试看看图是否创建ok
                    char[] data = new char[]{‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘D‘,‘E‘,‘F‘,‘G‘};
                    int verxs = data.length;
                    //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
                    //为啥邻接矩阵是自己输入的？不应该是生成的吗  
                    //这是邻接矩阵的关系  这里面放的就是 那个结点 和那个结点 连通 并且权值是多少
                    int [][]weight=new int[][]{
                {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
                
            //创建MGraph对象
            MGraph graph = new MGraph(verxs);
            //创建一个MinTree对象
            MinTree minTree = new MinTree();
            minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
            //输出
            minTree.showGraph(graph);
            //测试普利姆算法
            minTree.prim(graph, 1);// 
            }
    
    }
    
    //创建最小生成树->村庄的图
    class MinTree {
            //创建图的邻接矩阵
            /**
             * 
             * @param graph 图对象
             * @param verxs 图对应的顶点个数
             * @param data 图的各个顶点的值
             * @param weight 图的邻接矩阵
             */
            //根据上面的邻接矩阵的关系创建邻接矩阵
            public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
                    int i, j;
                    for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
                            graph.data[i] = data[i];
                            for(j = 0; j < verxs; j++) {
                                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                            }
                    }
            }
            
            //显示图的邻接矩阵
            public void showGraph(MGraph graph) {
                    for(int[] link: graph.weight) {//如遍历weight[2] 就是第二行 得到的就是第二行的所有值
                            System.out.println(Arrays.toString(link)); //输出的就是那行的所有值
                    }
            }
            
            //编写prim算法，得到最小生成树
            /**
             * 
             * @param graph 图
             * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成‘A‘->0 ‘B‘->1...
             */
            public void prim(MGraph graph, int v) { //传过来一个图 和从那个结点开始访问
                    //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
                    int visited[] = new int[graph.verxs]; //和顶点个数是一样的
                    //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
    //        for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
    //            visited[i] = 0;
    //        }
            
            //把当前这个结点标记为已访问
            visited[v] = 1; //之前输入了结点 就表示已经访问过了
            //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
            int h1 = -1;
            int h2 = -1;
            int minWeight = 10000; //最小权   //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
            for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
                    
                    //这两个for 就是A B C D E F G-所有可访问的结点 找一个最小的权
                      //外层 A B C  D E F G 循环结点
                            //内层-所有可访问的结点 找一个最小的权 A [0][1] [0][2][0][3]…一个个比较
                    //两层for走完 找到一个权最少的边
                    //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近 
                    // 子图   画图就是这样的  A-C  A-G A-B等等  代码中这样的 [0][1] [0][2] [0][3] [0][4] 
                    
                    //第一次 只有v[0]=1 第一次完了才有v[6]=1所以第二次 就有v[0]=1 v[6]=1 代表 这两个结点 被访问了 
                    //不然 那个if 进不去 
                    
                    for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点  
                            for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
                                    if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                                            //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                                            minWeight = graph.weight[i][j];
                                            h1 = i;
                                            h2 = j;
                                    }
                            }
                    }
                    //找到一条边是最小
                    System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
                    //将当前这个结点标记为已经访问
                    visited[h2] = 1;
                    //minWeight 重新设置为最大值 10000
                    minWeight = 10000;
            }
            
            }
    }
    
    //这个图的类
    class MGraph {
            int verxs; //表示图的节点个数
            char[] data;//存放结点数据 结点名称
            int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
            
            public MGraph(int verxs) {
                    this.verxs = verxs;
                    data = new char[verxs];
                    weight = new int[verxs][verxs];
            }
    }