克鲁斯卡尔算法与公交问题

Posted 2021-03-08 cnng

克鲁斯卡尔算法与公交问题

 

 

 

应用场景-公交站问题

 

 

 

 

类似的

 

 

 

看一个应用场景和问题：

• 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
• 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
• 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

 

 

克鲁斯卡尔算法介绍

• 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
• 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
• 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

 

克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

 

第1步：将边<E,F>加入R中。 
    边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第2步：将边<C,D>加入R中。 
    上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第3步：将边<D,E>加入R中。 
    上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第4步：将边<B,F>加入R中。 
    上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。 
第5步：将边<E,G>加入R中。 
    上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第6步：将边<A,B>加入R中。 
    上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

 

判断回路问题

 

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

 

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

 

 

 

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。 

(02) D的终点是F。 

(03) E的终点是F。 

(04) F的终点是F。

 

关于终点的说明：

• 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
• 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。【后面有代码说明】

 

自己推演的过程

 

C E的终点是F 所以不能连接

C F 的终点是F 也不能连接

B F 的终点 B的终点（因为没连接 终点当成自己 就是B）

F的终点也是F 两者不相同 所以可以连接

 

刚开始 E F 终点是F (因为F最大)

C D 终点应该是 D 因为连通的 D最大

D E  D的终点是自己 E的终点是F  终点不相同 可以连   这时 C的终点应该也变了F （因为连通的 F最大）

D的终点应该也变了F因为连通的 F最大）

C E    C的终点是F     E的终点是F  终点相同 不能连

CF     C的终点是F     F的终点是F  终点相同 不能连

BF    B的终点是B(自己)     F的终点是F  终点不相同 可以连

连完后 因为连通的 F是最大的

所以B的终点应该也变成了 F

 

 

克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题

看一个公交站问题：

 

 

• 有北京有新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
• 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
• 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

 

核心代码 --算出最小生成树

 

public void kruskal() {
        int index = 0; //表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
        //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
        EData[] rets = new EData[edgeNum];
        
        //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
        EData[] edges = getEdges();
        System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
        
        //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
        sortEdges(edges);
        
        //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
        for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
                //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
                int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
                //获取到第i条边的第2个顶点 好像不能叫终点 因为终点会变化  只能是第二个顶点
                int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
                
                //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
                //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
                //是否构成回路
                if(m != n) { //没有构成回路
                        ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
                        //就是把第四个顶点的终点设为了第五个顶点 
                        //为什么不需要把第五个顶点的终点设为自己  getEnd 去解释了
                        //rets是最后的生成树 edges[]是总的边的集合 结合if  就是 没有回路的边就会放到最后的那个最小生成树中去 
                        rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
                }
        }
        //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
        //统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
        System.out.println("最小生成树为");
        for(int i = 0; i < index; i++) {
                System.out.println(rets[i]);
        }
        
        
}

 

核心代码--获取下标为i的顶点的终点

 

/**
 * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
 */
//举个例子 i= 5 而且ends[5]的值是0  那么就会return 5 就是説第五个是第五个的终点 刚好是自己
//所以上面 判断回路的时候 不需要end[n]=n
private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
        //注意这里是一个while是一个循环  要不满足条件了才能退出   
        //第二次的时候 n=end[4] i=end[4]=5 再判断 end[5] 是否等于0  发现等于0  所以return i  5
        //第三 次的时候 m=end[2] i=end[2]=3 再判断 end[3] 是否等于0 发现 不等于0  i = end[3] =5  
        //再判断end[5]是否等于0 等于 0 所以return i 5
        while(ends[i] != 0) {  
                i = ends[i];
        }
        return i;
}

 

核心代码--获取图中边，放到EData[] 数组中

 

/**
 * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
 * EData[] 形式 [[‘A‘,‘B‘, 12], [‘B‘,‘F‘,7], .....]
 * @return
 */
private EData[] getEdges() {
        int index = 0;
        EData[] edges = new EData[edgeNum];
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { //j=i+1  是为了不自己和自己遍历 i=0 j=0+1  因为自己和自己不会产生边 同时下面也不却要为自己和自己权值等于0写条件了
                //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵  是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果
                
                        if(matrix[i][j] != INF) {
                                edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                        }
                }
        }
        return edges;
}

 

完整代码

 

package com.atguigu.kruskal;

import java.util.Arrays;

public class KruskalCase {

        private int edgeNum; //边的个数
        private char[] vertexs; //顶点数组
        private int[][] matrix; //邻接矩阵
        //使用 INF 表示两个顶点不能连通
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
        
        public static void main(String[] args) {
                char[] vertexs = {‘A‘, ‘B‘, ‘C‘, ‘D‘, ‘E‘, ‘F‘, ‘G‘};
                //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  
                //0表示自己与自己连接的权  inf 表示两个顶点不能连通  其他的就是连通的权值
              int matrix[][] = {
              /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
        /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
        /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
        /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
        /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
        /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
        /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
        /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; 
              //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
              
              //创建KruskalCase 对象实例
              KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
              //输出构建的
              kruskalCase.print();
              kruskalCase.kruskal();
              
        }
        
        //构造器
        public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
                //初始化顶点数和边的个数
                int vlen = vertexs.length;
                
                //初始化顶点, 复制拷贝的方式
                this.vertexs = new char[vlen];
                for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                        this.vertexs[i] = vertexs[i];
                }
                
                //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
                this.matrix = new int[vlen][vlen];
                for(int i = 0; i < vlen; i++) {
                        for(int j= 0; j < vlen; j++) {
                                this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
                        }
                }
                //统计边的条数
                for(int i =0; i < vlen; i++) {
                        for(int j = i+1; j < vlen; j++) {//matrix[0][0] i= 0  j=0 自己与自己不会产生边
                        //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵  是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果
                                if(this.matrix[i][j] != INF) {
                                        edgeNum++;
                                }
                        }
                }
                
        }
        public void kruskal() {
                int index = 0; //表示最后结果数组的索引
                int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
                //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
                EData[] rets = new EData[edgeNum];
                
                //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
                EData[] edges = getEdges();
                System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
                
                //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
                sortEdges(edges);
                
                //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
                for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
                        //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
                        int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
                        //获取到第i条边的第2个顶点 好像不能叫终点 因为终点会变化  只能是第二个顶点
                        int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
                        
                        //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
                        int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
                        //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
                        int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
                        //是否构成回路
                        if(m != n) { //没有构成回路
                                ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
                                //就是把第四个顶点的终点设为了第五个顶点 
                                //为什么不需要把第五个顶点的终点设为自己  getEnd 去解释了
                                //rets是最后的生成树 edges[]是总的边的集合 结合if  就是 没有回路的边就会放到最后的那个最小生成树中去 
                                rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
                        }
                }
                //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
                //统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
                System.out.println("最小生成树为");
                for(int i = 0; i < index; i++) {
                        System.out.println(rets[i]);
                }
                
                
        }
        
        //打印邻接矩阵
        public void print() {
                System.out.println("邻接矩阵为: 
");
                for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                        for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
                                System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
                        }
                        System.out.println();//换行
                }
        }

        /**
         * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序
         * @param edges 边的集合
         */
        private void sortEdges(EData[] edges) {
                for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
                        for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
                                if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
                                        EData tmp = edges[j];
                                        edges[j] = edges[j+1];
                                        edges[j+1] = tmp;
                                }
                        }
         }
        }
        /**
         * 
         * @param ch 顶点的值，比如‘A‘,‘B‘
         * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
         */
        private int getPosition(char ch) {
                for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                        if(vertexs[i] == ch) {//找到
                                return i;
                        }
                }
                //找不到,返回-1
                return -1;
        }
        /**
         * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
         * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
         * EData[] 形式 [[‘A‘,‘B‘, 12], [‘B‘,‘F‘,7], .....]
         * @return
         */
        private EData[] getEdges() {
                int index = 0;
                EData[] edges = new EData[edgeNum];
                for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                        for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { //j=i+1  是为了不自己和自己遍历 i=0 j=0+1  因为自己和自己不会产生边 同时下面也不却要为自己和自己权值等于0写条件了
                        //至于j=i+1 应该就是 因为是邻接矩阵  是对称的 只遍历上半三角形也能得到结果
                        
                                if(matrix[i][j] != INF) {
                                        edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                                }
                        }
                }
                return edges;
        }
        /**
         * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
         * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
         * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
         * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
         */
        //举个例子 i= 5 而且ends[5]的值是0  那么就会return 5 就是説第五个是第五个的终点 刚好是自己
        //所以上面 判断回路的时候 不需要end[n]=n
        private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
                //注意这里是一个while是一个循环  要不满足条件了才能退出   
                //第二次的时候 n=end[4] i=end[4]=5 再判断 end[5] 是否等于0  发现等于0  所以return i  5
                //第三 次的时候 m=end[2] i=end[2]=3 再判断 end[3] 是否等于0 发现 不等于0  i = end[3] =5  
                //再判断end[5]是否等于0 等于 0 所以return i 5
                while(ends[i] != 0) {  
                        i = ends[i];
                }
                return i;
        }
 
}

//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EData {
        char start; //边的一个点
        char end; //边的另外一个点
        int weight; //边的权值
        //构造器
        public EData(char start, char end, int weight) {
                this.start = start;
                this.end = end;
                this.weight = weight;
        }
        //重写toString, 便于输出边信息
        @Override
        public String toString() {
                return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
        }
        
        
}