特征值特征向量相似矩阵，矩阵对角化的意义

Posted 2021-03-08 gxxtsz

1.相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B

 

相似矩阵有以下性质：

对于

设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

（1）反身性：A~ A

（2）对称性：若A~ B，则 B~ A

（3）传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C

（4）若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。

（5）若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。

（6）若A~ B，则A与B

• 两者的秩相等；
• 两者的行列式值相等；
• 两者的迹数相等；
• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
• 两者拥有同样的特征多项式；
• 两者拥有同样的初等因子。

（7）若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。

（8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

 

2.矩阵对角化

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

理论上看,意义是明显的.相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式,特征根,行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没有区别的,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了.而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.
另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过度矩阵T反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义还是很明显的.再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论,例如实对称矩阵总可以对角化.
实践中的矩阵对角化作用也很大.别的不说,比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂,n较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数型增长.但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的),写为=T^(-1)PT,P是对角阵.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的,只要把各特征值^n即可,此时计算A^n的复杂度几乎与n无关.

 

3.特征值和特征向量

通过求特征值和特征向量，我们可以得到相似的对角化的矩阵，然后就可以利用对角化的矩阵进行简便的运算。

另外在PCA中，通过选择最大的几个特征值，其余特征值看作0，以此来实现数据的降维。