欧氏空间05——实对称矩阵的标准形
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧氏空间05——实对称矩阵的标准形相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
本节目的:
讨论一类必可相似对角化的矩阵: 实对称矩阵.
证明: 若 A A A 是 n n n 阶实对称矩阵, 则
- (1) A A A 的特征值都是实数.
- (2) 互异特征值的特征向量必然彼此正交.
- (3) 存在 n n n 阶正交矩阵 C C C 使得 C − 1 A C = C T A C C^{-1} A C=C^{T} A C C−1AC=CTAC 为对角阵.
给出实对称矩阵正交对角化的方法.
实对称矩阵
复数及其性质: i 2 = − 1 , i : \\quad \\mathbf{i}^{2}=-1, \\mathbf{i}: i2=−1,i: 虚单位 z = a + b i , a : z=\\boldsymbol{a}+b \\mathbf{i}, \\boldsymbol{a}: z=a+bi,a: 实部, b : b: b: 虚部
设 z 1 = a 1 + b 1 i , ⋯ , z n = a n + b n i z_{1}=a_{1}+b_{1} \\mathbf{i}, \\cdots, z_{n}=a_{n}+b_{n} \\mathbf{i} z1=a1+b1i,⋯,zn=an+bni
复数运算: 加法, 乘法
z
1
+
z
2
=
(
a
1
+
a
2
)
+
(
b
1
+
b
2
)
i
,
z
1
⋅
z
2
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
i
z_{1}+z_{2}=\\left(a_{1}+a_{2}\\right)+\\left(b_{1}+b_{2}\\right) \\mathbf{i}, \\quad z_{1} \\cdot z_{2}=\\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\\right)+\\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\\right) \\mathbf{i}
z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i
复共轭:
z
1
‾
=
a
1
−
b
1
i
\\overline{z_{1}}=a_{1}-b_{1} \\mathbf{i}
z1=a1−b1i,
z
1
+
⋯
+
z
n
‾
=
z
1
‾
+
⋯
+
z
n
‾
\\overline{z_{1}+\\cdots+z_{n}}=\\overline{z_{1}}+\\cdots+\\overline{z_{n}}
z1+⋯+zn=z1+⋯+zn
z
1
⋯
⋯
z
n
‾
=
z
1
‾
⋯
⋯
z
n
‾
\\overline{z_{1} \\cdots \\cdots z_{n}}=\\overline{z_{1}} \\cdots \\cdots \\overline{z_{n}}
z1⋯⋯zn=z1⋯⋯zn
模:
∣
z
1
∣
=
z
1
z
1
‾
=
a
1
2
+
b
1
2
≥
0
z
1
‾
z
1
=
0
⇔
z
1
=
0
z
1
‾
⋅
z
1
+
⋯
+
z
n
‾
⋅
z
n
=
0
⇔
z
1
=
⋯
=
z
n
=
0
\\begin{array}{ll}\\text { }\\left|z_{1}\\right|=\\sqrt{z_{1} \\overline{z_{1}}}=\\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} \\geq 0 & \\overline{z_{1}} z_{1}=0 \\Leftrightarrow z_{1}=0 \\\\ \\overline{z_{1}} \\cdot z_{1}+\\cdots+\\overline{z_{n}} \\cdot z_{n}=0 \\Leftrightarrow z_{1}=\\cdots=z_{n}=0\\end{array}
∣z1∣=z1z1=a12+b12≥0z1⋅z1+⋯+zn⋅zn=0⇔z1=以上是关于欧氏空间05——实对称矩阵的标准形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章