积性函数筛法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了积性函数筛法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
积性函数筛法
很多常用的数论函数都是积性函数,而在题目中,我们常常需要线性(甚至更高)的筛法。
对于积性函数,我们可以在筛素数的基础上稍加修改,即可完成线性筛。
首先,注意到积性函数的特点:
[
f(xy)=f(x) imes f(y)
]
而可以线性筛的积性函数,需要知道以下两个式子的快速求法:
[
f(p)=?quad f(p^k)=?\pin prime
]
其中, (f(p)) 大多是直接定义,(f(p^k)) 大多是递归定义。
我们来回忆一下素数筛的过程:
inp[0]=inp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!inp[i]){
prime[++tot]=i;
}
for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
int tp=prime[j]*i;
inp[tp]=1;
if(i%prime[j]==0){
break;
}
}
}
在线性筛素数的基础上,我们可以进行线性筛的修改。
首先,对于判定的质数 (p) ,可以直接给出定义的值。
之后,对于 (i\%p eq0) ,由于 (i) 和 (p) 互质,可以直接用积性函数性质推得。
然后,对于 (i\%p == 0) :
即 (i) 内的最小素因子是 (p) ,此刻可以将 (i) 内的素因子都除掉,然后就可以用积性函数的性质来递推了。为此,我们要记录一个最小质因子的幂次 (low_i) 。
那么递推式就可以表示为:(f(i imes p)=f(i/low_i) imes f(low_i imes p)) 。
此处还有一个特殊的判定,当 (i==low_i) 时,上式相当于没推,所以我们要用 (f(p^k)) 的递推来计算。
那么代码如下:
inp[0]=inp[1]=1;
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!inp[i]){
prime[++tot]=i;
f[i]=对质数的定义式;
low[i]=i;
}
for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
int tp=prime[j]*i;
inp[tp]=1;
if(i%prime[j]==0){
if(i!=low[i])
f[tp]=f[i/low[i]]*f[low[i]*prime[j]];
else
f[tp]=对p的次幂的定义式;
low[tp]=low[i]*prime[j];
break;
}
f[tp]=f[i]*f[prime[j]];
low[tp]=prime[j];
}
}
缺点很明显,比较耗空间。(但是题目会给够的
当需要线性筛很多个积性函数时,可以同时进行。
这种基于素数筛的线性筛法,有时不止对积性函数有用,对于一些和素数有关的函数也可以筛出,具体在我写的莫比乌斯反演中有例子。
(frak by;thorn\_)
以上是关于积性函数筛法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章