莫比乌斯函数的由来与性质

Posted 2021-03-06 justinrochester

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莫比乌斯函数的由来

对于方程 (displaystyle oldsymbol F(n)=sum_{dmid n}oldsymbol f(d))

我们若已知 (oldsymbol f) 可以通过递推，很快地求解出 (oldsymbol F)

但通过这个式子，若已知 (oldsymbol F) 如何反求解出 (oldsymbol f) 呢？

很显然 (displaystyle oldsymbol F(n)=sum_{dmid n}oldsymbol f(d)=sum_{dmid n}oldsymbol f(d)oldsymbol I({nover d})=(oldsymbol f*oldsymbol I)(n))

最后一步用到了迪利克雷卷积的定义

因此，很显然的 (oldsymbol F=oldsymbol f*oldsymbol I)

当然，我们不妨设 (oldsymbol I) 的逆元为 (oldsymbol mu)

则两边卷上 (oldsymbol mu) 得 (oldsymbol F*oldsymbol mu=oldsymbol f*oldsymbol I*oldsymbol mu=oldsymbol f*oldsymbol varepsilon=oldsymbol f)

这样，我们就可以得到 (oldsymbol f) 了，这就是莫比乌斯函数的由来

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莫比乌斯函数的值

显然，根据莫比乌斯函数的定义： (oldsymbol mu*oldsymbol I=oldsymbol varepsilon)

首先， (oldsymbol mu(1)=1,oldsymbol mu) 为积性函数

其次，若 (n eq 1) 则有

(displaystyle 0=oldsymbol varepsilon(n)=sum_{dmid n}oldsymbol mu(d)oldsymbol I({nover d})=sum_{dmid n}oldsymbol mu(d))

由于莫比乌斯函数是积性函数，我们只需要考虑 (oldsymbol mu(p^k)) 即可了：

当 (k=1) 时 (displaystyle 0=sum_{dmid p}oldsymbol mu(d)=oldsymbol mu(p)+oldsymbol mu(1))

得到 (oldsymbol mu(p)=-oldsymbol mu(1)=-1)

当 (k eq 1) 时 (displaystyle 0=sum_{dmid p^k}oldsymbol mu(d)=sum_{c=0}^koldsymbol mu(p^c)=sum_{c=2}^koldsymbol mu(p^c)+oldsymbol mu(p)+oldsymbol mu(1)=sum_{c=2}^koldsymbol mu(p^c))

由于该式对任意的 (k>1) 均成立，所以我们很快可以得到 (oldsymbol mu(p^c)=0,c>1)

因此，我们可以简单归纳为 (oldsymbol mu(p^k)=-[k=1])

或者我们这样写：(oldsymbol mu(p^k)=[p^2 mid p^k]cdot (-1)^{[pmid p^k]})

所以，对于 (n) 我们有 (displaystyle oldsymbol mu(n)=prod_{i=1}^m[p_i^2 mid n]cdot (-1)^{[p_imid n]})