浙大《数据结构》第三章：树(上)

Posted 2021-03-05 superorange

注：本文使用的网课资源为中国大学MOOC

https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001

查找

查找：根据某个给定的关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录。

静态查找：集合中的记录是固定的，没有插入删除的操作，只有查找；

动态查找：集合中记录是动态变化的，除查找，还可能发生插入和删除。

静态查找

方法1：顺序查找

int SequentialSearch( StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
    //在表Tbl[1]~Tbl[n]中查找关键字为K的数据元素
    int i;
    Tbl->Element[0] = K; //建立哨兵
    for (i=Tbl->Length; Tbl->Element[i]!=K; i--);
    return i; //查找成果则返回所在单元下标；不成功则返回0
}

顺序查找的时间复杂度为O(n)。

方法2：二分查找

int BinarySearch( StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
    int left, right, mid, NotFound = -1;
    
    left = 1; //初始左边界
    right = Tbl->Length; //初始右边界
    while ( left <= right )
    {
        mid = (left+right)/2; //计算中间元素坐标
        if ( K < Tbl->Element[mid] )
            right = mid-1; //调整右边界
        else if ( K > Tbl->Element[mid] )
            left = mid+1; //调整左边界
        else
            return mid; //查找成功，返回数据元素的下标
    }
    return NotFound; //查找不成功，返回-1
}

二分查找算法具有对数时间复杂度O(log(N))。

树的定义

树（Tree）: n(n≥0)个结点构成的有限集合。当n=0时，称为空树，对于任意一棵非空树，它具备以下性质：

• 树中有一个称为“根(root)”的特殊结点，用r表示；
• 其余结点可分为若干个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，称为原来树的子树(SubTree).
• 子树是不相交的；
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
• 一棵N个结点的树有N-1条边。

树的基本术语

1. 结点的度(Degree):结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的读数
3. 叶结点(Leaf)：度为0的结点
4. 父结点(parent)：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
5. 子节点(child)：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称为孩子结点
6. 兄弟结点(sibling)：具有同意父结点的各结点是彼此的兄弟结点
7. 路径和路径长度：从结点(n_1)到(n_k)的路径为一个结点序列(n_1,n_2,...,n_k)，(n_i)是(n_{i+1})的父结点。路径所包含的边的个数为路径的长度。
8. 祖先结点(ancestor)：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。
9. 子孙结点(descendant):某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙
10. 结点的层次(level)：规定根结点在1层，其他任意结点的层数是其父结点的层数加1。
11. 树的深度(depth)：树中所有结点中最大层次是这棵树的深度。

二叉树及其存储结构

定义

二叉树T：一个有穷的结点组合

• 这个集合可以为空
• 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树(T_L)和右子树(T_R)的两个不相交的二叉树组成。

特殊的二叉树

性质

1. 一个二叉树第i层的最大结点数为：(2^{i-1},i geq 1.).
2. 深度为K的二叉树有最大结点总数为(2^K-1,K geq 1.).
3. 对于任何非空二叉树T，若(n_0)表示叶结点的个数(没有子树)、(n_2)是度为2的非叶结点个数(有左右两个子树)，那么二者满足关系(n_0=n_2+1)
   (二叉树的结点总数为(n_0+n_1+n_2))

抽象数据类型定义

类型名称：二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合。若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。

操作集：(BT in BinTree),(Item in ElementType)，重要操作有：

Boolean IsEmpty( BinTree BT); //判别BT是否为空
void Traversal( BinTree BT ); //遍历，按某顺序访问每一个结点
BinTree CreatBinTree();//创建一个二叉树

/* 常见的遍历方法 */
void PreOrderTraversal( BinTree BT ); //先序：根-左-右
void InOrderTraversal( BinTree BT ); //中序：左-根-右
void PostOrderTraversal( BinTree BT ); //后序：左-右-根
void LevelOrderTraversal( BinTree BT ); //层次遍历：从上到下，从左到右

存储结构

顺序存储结构

完全二叉树：按从上到下、从左到右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系：

• 非根结点(序号i>1)的父结点的序号是（i/2）。
• 结点(序号i)的左孩子结点序号是2i（需2i<=n,否则没有左孩子）
• 结点(序号i)的右孩子结点序号是2i+1（需2i+1<=n,否则没有右孩子）

链表存储结构

typedef struct TreeNode *Position
typedef Position BinTree
struct TreeNode
{
    ElementTyoe Data;
    BinTree Left;
    BinTree right;
}

二叉树的遍历

递归遍历

(1) 先序遍历

遍历过程：

1. 访问根结点
2. 先序遍历其左子树
3. 先序遍历其右子树

void PreOrderTraversal( BinTree BT )
{
    if ( BT )
    {
        printf("%d", BT->Data); //根结点
        PreOrderTraversal( BT->Left ); //左子树
        PreOrderTraversal( BT->Right ); //右子树
    }
}

(2) 中序遍历

遍历过程：

1. 中序遍历其左子树
2. 访问根结点
3. 中序遍历其右子树

void InOrderTraversal( BinTree BT )
{
    if ( BT )
    {
        InOrderTraversal( BT->Left ); //左子树
        printf("%d", BT->Data); //根结点
        InOrderTraversal( BT->Right ); //右子树
    }
}

(3) 后序遍历

遍历过程：

1. 后序遍历其左子树
2. 后序遍历其右子树
3. 访问根结点

void PostOrderTraversal( BinTree BT )
{
    if ( BT )
    {
        PostOrderTraversal( BT->Left ); //左子树
        PostOrderTraversal( BT->Right ); //右子树
        printf("%d", BT->Data); //根结点
    }
}

非递归遍历

先序、中序和后序遍历过程中结果结点的路线是一样的，只是访问各结点的时机不同。

• 先序遍历是第一次"遇到"该结点时访问
• 中序遍历是第二次"遇到"该结点（此时该结点从左子树返回）时访问
• 后序遍历是第三次"遇到"该结点（此时该结点从右子树返回）时访问

非递归算法实现的基本思路：使用堆栈

(1) 中序遍历

1. 遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
2. 当这个左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
3. 然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树；

void InOrderTraversal( BinTree BT )
{
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreatStack(MaxSize); //创建并初始化堆栈S
    while (T || !IsEmpty(S))
    {
        while (T) //一直向左并将沿途结点压入堆栈
        {
            Push(S, T); 
            T = T->Left;
        }
        if ( !IsEmpty(S))
        {
            T = Pop(S); //结点弹出堆栈
            printf("%5d", T->Data); //打印结点
            T = T->Right; //转向右子树
        }
    }
}

(2) 先序遍历

void PreOrderTraversal( BinTree BT )
{
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreateStack();  // 创建并初始化堆栈 S
    while(T || !IsEmpty(S))  // 当树不为空或堆栈不空 
    {  
        while(T)
        {     
            Push(S,T);    // 压栈，第一次遇到该结点 
            printf("%d",T->Data);  // 访问结点
            T = T->Left;   // 遍历左子树 
        }
        if(!IsEmpty(S)) // 当堆栈不空 
        {  
            T = Pop(S);    // 出栈，第二次遇到该结点 
            T = T->Right;  // 访问右结点 
        }
    } 
} 

(3) 后序遍历

先序的访问顺序是root, left, right 假设将先序左右对调，则顺序变成root, right, left，暂定称之为“反序”。后序遍历的访问顺序为left, right,root ，刚好是“反序”结果的逆向输出。

1. 反序遍历二叉树，具体方法为：将先序遍历代码中的left 和right 对调即可。数据存在堆栈S中。
2. 在先序遍历过程中，每次Push节点后紧接着print结点。对应的，在反序遍历时，将print结点改为把当前结点Push到堆栈N中。
3. 反序遍历完成后，堆栈N的压栈顺序即为反序遍历的输出结果。此时再将堆栈N中的结果pop并print，即为“反序”结果的逆向，也就是后序遍历的结果。

void PostOrderTraversal( BinTree BT )
{
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreatStack();
    Stack N = CreatStack(); //创建并初始化栈N
    wihile ( T || !IsEmpty(S) )
    {
        while(T) /*一直向右并将沿途结点压入堆栈*/
        { 
            Push(S,T);
            Push(N,T);  //将遍历到的结点压栈，用于反向
            T = T->Right;  //这里是Right
        }
        if ( !IsEmpty(S) )
        {
            T = Pop(S);
            T = T->Left;
        }
    }
    while ( !IsEmpty(N) )
    {
        T = Pop(N);
        printf("%5d", T->Data); //将 N 栈中的数据依次弹出并打印
    }
}

层次遍历

队列实现：

1. 根结点入队；
2. 从队列中取出一个元素，并访问该元素；
3. 若该元素所指结点的左右孩子结点非空，则将其左右孩子的指针入队。

void LevelTraversal( BinTree BT )
{
    if ( !BT )
        return; //如果是空树直接返回
    BinTree T;
    Queue Q = CreatQueue(MaxSize); //创建并初始化队列Q
    AddQ( Q, BT );
    while (!IsEmpty(Q))
    {
        T = DeleteQ( Q );
        printf("%d
", T->Data); // 访问取出队列的结点
        if ( T->Left )
            AddQ( Q, T->Left );
        if ( T->Right )
            AddQ( Q, T->Right );    
    }
}

举例

(1) 求二叉树的高度

int PostOrderGetHeight( BinTree BT )
{
    int HL, HR, MaxH;
    if ( BT )
    {
        HL = PostOrderGetHeight( BT->Left );
        HR = PostOrderGetHeight( BT->Right );
        MaxH = (HL>HR) ? HL :HR; // 取左右子树较大的深度
        return ( MaxH+1 );
    }
    else
        return 0;  // 空树深度为0
}

(2) 根据先序和中序遍历来确定一棵二叉树

分析：

1. 根据先序遍历序列的第一个结点确定根结点；
2. 根据根结点在中序遍历序列中分割出左右两个子序列；
3. 对左子树和右子树分别递归使用相同的方法继续分解；

例如：

前序：ABCDEFG

中序：CBDAFEG

先序遍历为"根左右"，则 A 是根，对应可以划分出中序中：(CBD)A(FEG)，CBD 为左子树，FEG 为右子树，

再根据前序的 BCD，B 为根，划分出中序中(C(B)D)A(FEG)，则 C D 分别是 B 的左右子树…最后可得树为：

     A
    /     B    E
  /   /  C   D F  G

二叉树的同构

题意理解

给定两棵树T1和T2。如果T1可以通过若干次左右孩子互换就变成T2，则我们称这两棵树是“同构”的。

输入格式：

• 现在一行中给出概述的结点数，随后N行
• 第i行对应编号第i个结点，给出该结点中存储的字母、其左孩子结点的编号、右孩子结点的编号
• 如果孩子结点为空，则在相应的位置上给出“-”。

输入样例：

程序框架搭建

int main()
{
    Tree R1, R2; // 利用结构数组表示二叉树，静态链表
    
    R1 = BuildTree(T1); // 建立二叉树1
    R2 = BuildTree(T2); // 建立二叉树2
    if ( Isomorphic(R1, R2) ) // 判别是否同构并输出
        printf("Yes
");
    else
        printf("No
");
    
    return 0;
    
}

程序实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>  //调用malloc()和free()
#include <malloc.h>  //调用malloc()和free()
#include <windows.h> //windows.h里定义了关于创建窗口，消息循环等函数S

#define MaxTree 10
#define Null -1

struct TreeNode
{
    char item;
    int Left;
    int Right;              // 注：这里的left和right分别为输入数据的左右子结点索引
} T1[MaxTree], T2[MaxTree]; // 结构数组表示二叉树

/* 创建树并返回根结点 */
int BuildTree(struct TreeNode T[])
{
    int i, N;
    int Root = 0;
    int check[MaxTree];
    char cl, cr;
    scanf("%d", &N);
    if ( !N )
        return Null;
    for (i = 0; i < N; i++)
        check[i] = 0;
    for (i = 0; i < N; i++)
    {
        printf("%d: ",i);
        scanf("%c %c %c", &T[i].item, &cl, &cr); // 注意输入时不要有空格,且字母要小写，eg.a12
        fflush(stdin); // 微软系统中清空缓冲区的功能函数
        // 注意‘’和“”的区别，双引号括起来的是字符串指针，单引号括起来的才是字符
        if (cl != '-') 
        {
            T[i].Left = cl - '0';
            check[T[i].Left] = 1;
        }
        else
            T[i].Left = Null;
        if (cr != '-')
        {
            T[i].Right = cr - '0';
            check[T[i].Right] = 1;
        }
        else
            T[i].Right = Null;
    }
    for (i = 0; i < N; i++)
        if (!check[i])
            break;
    Root = i;
    return Root;
}

/* 判断二叉树是否重构 */
int Ismorphic(int R1, int R2)
{
    if ((R1 == Null) && (R2 == Null)) // 均为空
        return 1;
    if (((R1 == Null) && (R2 != Null)) || ((R1 != Null) && (R2 == Null))) // 其中一个为空
        return 0;
    if ((T1[R1].Left == Null) && (T2[R1].Left == Null)) // 根结点均没有左子树
        return Ismorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right);
    if (((T1[R1].Left != Null) && (T2[R2].Left != Null)) && ((T1[T1[R1].Left].item) == (T2[T2[R2].Left].item)))
        return (Ismorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Left) && Ismorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right));
    else
        return (Ismorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Right) && Ismorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Left));
}

int main()
{
    int R1, R2; // 利用结构数组表示二叉树，静态链表

    printf("T1:
");
    R1 = BuildTree(T1); // 建立二叉树1
    printf("T2:
");
    R2 = BuildTree(T2);     // 建立二叉树2
    if (Ismorphic(R1, R2)) // 判别是否同构并输出
        printf("Yes
");
    else
        printf("No
");

    system("pause"); //程序暂停，显示按下任意键继续
    return 0;
}