算法-回溯回溯总结

Posted 2021-02-21 flix

什么是回溯

在求解诸如八皇后、全排列等问题时，我们通常使用深度优先搜索dfs在解空间内搜索满足条件的解，dfs的搜索过程可以看做是在一棵搜索树上遍历的过程。例如，求数字[1,2,3]的全排列的搜索树如下：

当我们搜索到树的深层向浅层返回的过程就是回溯。
（我认为可以这样理解：从上往下搜索是递归，从下往上返回是回溯。当然，这不一定正确。）

为什么需要回溯

继续拿求[1,2,3]的全排列举例，我们搜索到树的底部得到了一个排列123，这时我们需要返回到上一层继续进行搜索。如果不回溯的话，那么就无法遍历整棵搜索树，也就无法求得全部的解。一般在两种情况下程序需要回溯：

• 找到了一个满足要求的解；
• 当前层递归找不到满足要求的解，回溯到上一层寻找。例如，在八皇后问题中，如果当前行找不到一个满足条件的位置，可以回溯到上一行，调整上一行皇后的位置，然后继续递归。

模板

大多回溯问题都遵循一个通用的模板，总体的步骤就是做选择、递归到下一层、撤销选择、回溯。

void backtrack(参数){	// start是做选择的起始位置
	if(满足条件){
		将当前结果加入答案中；
		return;
	}
	
	for(选择 in 所有选择){
		做选择；
		backtrack(参数)；
		撤销选择；
	}
}

更详细一点的表述如下：

void backtrack(start, 其他参数){	// start是做选择的起始位置
	if(满足条件){
		将当前结果加入答案中；
		return;
	}
	
	for(int i=start; i<n; i++){
		if(满足剪枝条件) continue;
		做选择；
		backtrack(i, 其他参数)；
		撤销选择；
	}
}

例如，求一个数组的所有子集的代码如下：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        if(nums.empty()) return {{}};

        vector<vector<int>> ans;
        vector<int> track;
        backtrack(nums, 0, track, ans);
        return ans;
    }

    void backtrack(vector<int> nums, int start, vector<int> track, vector<vector<int>>& ans){
        ans.push_back(track);

        for(int i=start; i<nums.size(); i++){
            track.push_back(nums[i]);
            backtrack(nums, i+1, track, ans);
            track.pop_back();
        }
    }
};

可以看出，直接套用模板即可。

技巧

不同的回溯题的区别主要在两点：

• 从哪个地方开始做选择，也就是每次递归start的设置问题。
• 有一些问题要求答案中不能包含重复的解，这个是如何剪枝从而去重的问题。

问题1

首先看第一个问题，就是从哪个地方开始做选择，也就是每次递归的时候start如何设置。在全排列这题当中，我们每次递归都从数组第1个数字开始选择，而在子集这题中，我们每次都从上一次选择的位置的下一个位置开始选择。如果在做当前的选择时要考虑之前的选择，那么就要把每次递归的start设为0；如果在做当前选择的时候只考虑当前的选择以及之后的选择，那么就把start设为上一个选择的下一个位置i+1或者i。
上面的结论其实不是很准确，还是要根据不同的情况来调整。这里记录几个与start选择相关的题目：全排列、子集、组合总和和组合总和II。

问题2

当题目中要求答案中不能包含重复的解时，通常意味着要加入去重操作。为了便于去重，通常在搜索之前先对数组进行排序。举个例子，在全排列II中，数组中可能包含重复数字，例如[1,1,2]，而要求答案中不包含重复的排列。经过分析可以发现，出现重复的原因是因为在同一层递归中出现了相同的数字。所以，为了去重，我们在同一层递归的迭代中，要找到和之前不相同的数字继续搜索。
相关题目：全排列II、子集II、组合总和II。

相关题目

编号	题目	难度
1	全排列	中等
2	全排列II	中等
3	子集	中等
4	子集II	中等
5	组合总和	中等
6	组合总和II	中等
7	字母大小写全排列	简单
8	电话号码的字母组合	中等
9	N皇后	困难

其他

下面的链接对回溯有更详细的解释：

• https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/solution/hui-su-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong/
• https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/solution/fei-chang-xiang-xi-de-di-gui-hui-su-tao-lu-by-re-2/
• https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-python-dai-ma-java-dai-ma-by-liweiw/
• https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/solution/hui-su-suan-fa-jian-zhi-python-dai-ma-java-dai-m-3/