复杂度分析

Posted yan0720

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了复杂度分析相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1什么是复杂度分析?

分别用时间复杂度(执行的快慢)和空间复杂度(内存的消耗 )两个概念来描述性能问题,二者统称为复杂度.

复杂度就是用来分析算法执行效率与数据规模之间增长关系。

 

2.为什么要进行复杂度分析?

1.和性能测试相比,复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。
2.掌握复杂度分析,将能编写出性能更优的代码,有利于降低系统开发和维护成本。 

 

3.如何进行数据结构和算法的复杂度分析?

1.大O表示法
1)来源
算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比,用T(n) = O(f(n))表示,其中T(n)表示算法执行总时间,f(n)表示每行代码执行总次数,而n往往表示数据的规模。
2)特点
以时间复杂度为例,由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势,所以常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产决定性影响,所以在做时间复杂度分析时忽略这些项。
2.复杂度分析法则
1)单段代码看高频(只关注循环执行次数最多的一段代码):比如循环。

1  int cal(int n) {
2  int sum = 0;
3  int i = 1;
4  for (; i <= n; ++i) {
5  sum = sum + i;
6  }
7  return sum;
8  }

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关.4、5两行为循环执行次数最多的一段代码,

这两行代码执行了n次.所以复杂程度是O(n).


2)加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度:比如一段代码中有单循环和多重循环,那么取多重循环的复杂度。

1  int cal(int n) {
2  int sum_1 = 0;
3  int p = 1;
4  for (; p < 100; ++p) {
5  sum_1 = sum_1 + p;
6  }

7  int sum_2 = 0;
8  int q = 1;
9  for (; q < n; ++q) {
10  sum_2 = sum_2 + q;
11  }
12
13  int sum_3 = 0;
14  int i = 1;
15  int j = 1;
16  for (; i <= n; ++i) {
17  j = 1;
18  for (; j <= n; ++j) {
19  sum_3 = sum_3 + i * j;
20  }
21  }
22
23  return sum_1 + sum_2 + sum_3;
24  }

其中的4、5两行执行了100次,与n无关.

段代码循环 10000 次、100000 次,只要是一个已知的数(常量,与n无关),就可以忽略.因为时间复杂度表示的是一个算法执行效率

与数据规模增长的变化趋势.所以不管常量的执行时间对增长趋势并没有影响.


9、10两段代码的时间复杂程度是O(n),16、17、18、19的时间复杂程度是O(n2).所以这段代码的时间复杂程度是O(n2).


3)乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积:比如递归、多重循环等

1  int cal(int n) {
2  int ret = 0;
3  int i = 1;
4  for (; i < n; ++i) {
5  ret = ret + f(i);
6  }
7  }

9  int f(int n) {
10 int sum = 0;
11 int i = 1;
12 for (; i < n; ++i) {
13 sum = sum + i;
14 }
15 return sum;
16 }

第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n).但第五行的 f(i)函数本身就是 O(n),所以整个函数的复杂程度就是

T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

 

四、常用的复杂度级别
多项式阶:随着数据规模的增长,算法的执行时间和空间占用,按照多项式的比例增长。包括,
O(1)(常数阶)、O(logn)(对数阶)、O(n)(线性阶)、O(nlogn)(线性对数阶)、O(n^2)(平方阶)、O(n^3)(立方阶)
非多项式阶:随着数据规模的增长,算法的执行时间和空间占用暴增,这类算法性能极差。包括,
O(2^n)(指数阶)、O(n!)(阶乘阶)

1. O(1)

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,

它的时间复杂度也是O(1),而不是 O(3)。

 

2. O(logn)、O(nlogn)

  i=1;
  while (i <= n) {
  i = i * 2;
  }

这段代码i<=n时结束,那么就是2的i次方=N.求得时i的值.则x=log2n.时间复杂度就是 O(log2n)。

但是对数是可以相互转换的.例如log3n 就等于 log32 * log2n.所以 O(log3n) = O(C * log2n),其中C=log32 是一个常量.

在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。

因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,,统一表示为 O(logn)。

那么O(nlogn)就是循环执行一段时间复杂程度是O(logn)的代码.

 

3. O(m+n)、O(m*n)

  int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
  sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
  sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
  }

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n.谁大.所以上面代码的复杂程度就不能用简单的加法法则.

不能省略掉其中复杂程度最小的一个.复杂程度就是O(m+n).

加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m)+ g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n)= O(f(m) * f(n))。

 

空间复杂度分析

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

1  void print(int n) {
2  int i = 0;
3  int[] a = new int[n];
4  for (i; i <n; ++i) {
5  a[i] = i * i;
6  }

7  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
8  print out a[i]
9  }
10 }

第3行申请了一个大小为n的int类型数组.其他的代码没有占用更多的空间.所以整段代码的复杂程度就是O(n)

 

 

上面说了这么多,但是没有真正的用到有时候就不会真正的理解.所以想要真正的想要理解复杂分析度还是要多加练习.

 

本文是在学习王争老师的数据结构与算法之美的笔记.有些是王争老师或者评论的言语.在此附上原文链接

 https://time.geekbang.org/column/article/40036

 

以上是关于复杂度分析的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

如何分析回溯 dfs时间复杂度

复杂度分析(上):如何分析统计算法的执行效率和资源消耗

复杂度分析

复杂度分析(上)如何分析统计算法的执行效率和资源消耗

Chapter3 复杂度分析(上):如何分析,统计算法的执行效率和资源消耗

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