Catalan数

Posted 2021-02-12 lkx422

关于递推式：（用括号序列来理解）

n对括号相当于有2n个符号，n个左括号、n个右括号，可以设问题的解为f(2n)。第0个符号肯定为左括号，与之匹配的右括号必须为第2i+1字符。因为如果是第2i个字符，那么第0个字符与第2i个字符间包含奇数个字符，而奇数个字符是无法构成匹配的。

       通过简单分析，f(2n)可以转化如下的递推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。简单解释一下，f(0) * f(2n-2)表示第0个字符与第1个字符匹配，同时剩余字符分成两个部分，一部分为0个字符，另一部分为2n-2个字符，然后对这两部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0个字符与第3个字符匹配，同时剩余字符分成两个部分，一部分为2个字符，另一部分为2n-4个字符。依次类推。

       假设f(0) = 1，计算一下开始几项，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。结合递归式，不难发现f(2n) 等于h(n)。

关于组合公式：（仍用括号序列来理解）

https://blog.csdn.net/ffmpeg4976/article/details/42340379

对于其全排列,可以看做是2n个空，将n个 ( 放入其中任意n个空中，剩余的位置由 )
填充，显然其全排列的个数为 C(n,2n)
在全排列中，包含一部分非法的排列，我们从中减去非法的排列个数
所以有 catalan(n)：C(n,2n)-C(n+1,2n)

相当于给了一个a的序列，an=a[n]指的是到第n个
共有C(n+1,2n)种非法序列:，每一个n个1，n个-1的情况下的非法排列也会对应一个n+1个1，n-1个-1的排列。

应用：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aefe4250101asv5.html

https://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858

（深夜写博爆肝啊）