Catalan 数

Posted 2020-12-01 doublety

(Catalan) 数列

? 给定(n)个(0)和(n)个(1)，它们按照某种顺序排成长度为(2n)的序列，满足任意前缀中(0)的个数都不少于(1)的个数的序列的数量即为(Catalan)数列。

证明：

? 令(n)个(0)和(n)个(0)随意排成一个长度为(2n)的序列(s)，若(s)不满足任意前缀和中(0)的个数不少于(1)的个数，则存在一个最小的位置(2p+1)，使得(s)[(1,2p+1)]中有(p)个(0)，(p+1)个(1)。而把(s)[(2p+2),(2n) ]中的数都取反，包含(n-p-1)个(0)和(n-p)个(1)。于是，我们得到了(n-1)个(0)和(n+1)个(1)排成的序列。

? 同理，令(n-1)个(0)和(n+1)个(1)随意排成一个长度为(2n)的序列(B)。也必定存在一个最小的位置(2p+1)，使得(s[1,2p+1])中有(p)个(0)，(p+1)个(1)，把后面的序列取反，就得到了(n)个(0)，(n)个(1)组成的存在一个前缀(0)比(1)多的序列。

? 所以，以下两种序列的数量其实是一样的：

1. 有(n)个(0),(n)个(1)组成的存在一个前缀(0)比(1)多的序列。
2. 由(n-1)个0,(n+1)个(1)组成的序列。

所以，用所有情况减去不合法的情况就得到了卡特兰数。

推论

? 以下问题都与(Catalan)数有关

1. 括号匹配的合法括号序列数量

2.  合法出栈序列数量
3.  $n$ 个节点构成的不同二叉树的数量
4.  平面直角坐标系中，每一步只能向上或向右走，从$(0,0)$到$(n,n)$并且除了两个端点外不接触直线$y=x$的路线数量为$2Cat_{n-1}$。