不等式

Posted 2021-02-08 ezsyshx

1、柯西不等式
[(sum_{i=1}^na_ib_i)^2leqslantsum_{i=1}^na_i^2sum_{i=1}^nb_i^2]
取等条件：
[frac{a_1}{b_1}=frac{a_2}{b_2}=...=frac{a_n}{b_n}]
2、均值不等式
[sqrt{frac{a^2+b^2}{2}}geqslantfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}geqslantfrac{2}{frac{1}{a}+frac{1}{b}}]
推广：
[sqrt[2]{frac{sum_{i=1}^na_i^2}{n}}geqslantfrac{sum_{i=1}^na_i}{n}geqslantsqrt[n]{prod_{i=1}^na_i}geqslantfrac{n}{sum_{i=1}^nfrac{1}{a_i}}]
先决条件：
[a_1,a_2,...,a_ngeqslant0]
取等条件：
[a_1=a_2=...=a_n]
3、绝对值不等式
[left|left|a ight|-left|b ight| ight|leqslantleft|a±b ight|leqslantleft|a ight|+left|b ight|]
取等条件：
[|a-b|=|a|+|b| ab≤0]

[|a|-|b|=|a+b| b(a+b)≤0]

[|a|-|b|=|a-b| b(a-b)≥0]