扩展中国剩余定理（扩展CRT）详解

Posted 2021-02-07 xiefengze1

今天在$xsy$上翻题翻到了一道扩展$CRT$的题，就顺便重温了下

中国剩余定理是用于求一个最小的$x$，满足$xequiv c_i pmod{m_i}$。

正常的$CRT$有一个微小的要求，就是$forall i,j (m_i,m_j)=1$。

在某些情况下，这个式子无法被满足，这个时候就要用扩展$CRT$来求解了。

 

我们先假设我们只有两条方程要被求解，它们分别是：

$egin{cases} xequiv c_1 pmod{m_1}\xequiv c_2 pmod{m_2}end{cases}$

我们考虑将同余去掉，就变成了：

$egin{cases} x= c_1+m_1k_1\x= c_2+m_2k_2end{cases}$

联立一波，得：

$c_1+m_1k_1=c_2+m_2k_2$

$m_1k_1=(c_2-c_1)+m_2k_2$

若该方程存在解，则有$(m1,m2)|(c_2-c_1)$，否则无解

下面令$d=(m1,m2)$。

我们对等式两边全部除以$d$，得：

$dfrac{m_1}{d}k=dfrac{c_2-c_1}{d}+dfrac{m_2}{d}k_2$

经过简单变式，得：

$dfrac{m_1}{d}equiv dfrac{c_2-c_1}{d} pmod{dfrac{m_2}{d}}$

我们将$dfrac{m_1}{d}$移项到等式右侧，得：

$k_1 equiv inv(dfrac{m1}{d},dfrac{m_2}{d}) imes dfrac{c_2-c_1}{d} pmod{dfrac{m_2}{d}}$

其中$inv(x,y)$表示模$y意$义下$x$的乘法逆元

重新将该式子变回等式，得：

$k_1 = inv(dfrac{m1}{d},dfrac{m_2}{d}) imes dfrac{c_2-c_1}{d} + ydfrac{m_2}{d}$

该式子已经化简到尽了，考虑重新代入回最初的式子。

将$k_1$代入$x=c_1+m_1k$中，得：

$xequiv inv(dfrac{m1}{d},dfrac{m_2}{d}) imes dfrac{c_2-c_1}{d} +c_1 pmod{dfrac{m_1m_2}{d}}$

至此，求两条式子的扩展$CRT$已经讲完了

如果方程有多条怎么办：我们做$n-1$次的两条式子的$CRT$合并就可以了。