中国剩余定理和扩展中国剩余定理

Posted 2022-07-22 morning-glory

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前置知识

快速乘
扩展欧几里得定理
同余方程

中国剩余定理(CRT)

目的

求最小的正整数\(x\)，使其满足

\(\begincases x\equiv a_1\left( mod\ m\right) \\ x\equiv a_2\left( mod\ m_2\right) \\ \vdots \\ x\equiv a_n\left( mod\ m_n\right) \endcases\)

其中 \(m_1,m_2\dots m_n\)互质

求法

令 \(\beginalignedM=\prod ^n_i=1m_i\endaligned\)
设 \(\omega _i=\dfrac Mm_i\)

\(\omega_i^-1\)为\(\omega_i\)在\(mod\ M\)下的逆元

则有
\(\beginalignedx=\sum ^n_i=1a_i\omega_i\omega_i^-1 mod\ M\endaligned\)

当对\(m_i\)取模时，除了有\(\omega_i\)的项，其余项都是\(m_i\)的倍数，也就是说它们\(mod\ m_i\)是为\(0\)的，最后得到的结果就是\(a_i\)

\(m_1,m_2\dots m_n\)互质
为了保证是最小正整数解，我们乘以\(\omega_i\)的逆元，这样保证了其不会过大

Code

#define ll long long
#define ull unsigned long long

void ex_gcd (ll a,ll b,ll &x,ll &y)

    if (!b)    x=1,y=0;return;
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;


ll mul (ll x,ll y,const ll mod)//快速乘

    x%=mod,y%=mod;
    ll z=(long double)x*y/mod;
    ll ans=(ull)x*y-(ull)z*mod;
    return (ans+mod)%mod;


ll crt (int *a,int *m,int n)

    ll M=1,ans=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)  M*=m[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
        ll ni,jk;
        ex_gcd(M/m[i],m[i],ni,jk);//ni 逆元
        ans=(ans+mul(mul(M/m[i],a[i],M),ni,M))%M;
    
    return ans;

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扩展中国剩余定理(EXCRT)

目的

求最小的正整数\(x\)，使其满足

\(\begincases x\equiv a_1\left( mod\ m\right) \\ x\equiv a_2\left( mod\ m_2\right) \\ \vdots \\ x\equiv a_n\left( mod\ m_n\right) \endcases\)

其中 \(m_1,m_2\dots m_n\)不一定互质

解法

对于\(CRT\)而言，这里的条件变为\(m\)之间可以不互质了
显然是不能向原来那样直接求了
考虑已经知道了前\(i-1\)个方程的答案\(x\)
设前\(i-1\)个\(m\)的最小公倍数\(lcm(m1,m2\dots m_i-1)=M\)
现在考虑第\(i\)个方程
\(x\equiv a_i\left(mod\ m_i\right)\)
我们知道前\(i-1\)个方程的最小解为\(x\)，那么其通用解就是\(x+kM\)
因为\(kM\)对前\(i-1\)个\(m\)取模肯定是等于\(0\)的
那么考虑了第\(i\)个方程后的解应也是如上的一个形式
就设为\(x+kM\)吧
那么我们就是要求关于\(k\)的这样的方程
\(kM+x\equiv a_i\left(mod\ m_i\right)\)
其中\(x,a_i,m_i\)都是已知的
这就是一个简单的同余方程了
\(kM-pm_i=a_i-x\)
其中两个未知数\(k,p\)
用\(ex_gcd\)求解即可
无解条件就是上述方程无解

code

#define ll long long
#define ull unsigned long long

ll ex_gcd (ll a,ll b,ll &x,ll &y)

    if (!b)    x=1,y=0;return a;
    ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return g;


ll mul (ll a,ll b,ll mod)//快速乘

    a%=mod,b%=mod;
    ll c=(long double)a*b/mod;
    ll ans=(ull)a*b-(ull)c*mod;
    return (ans+mod)%mod;


ll ex_crt (ll *a,ll *m,int n)

    ll ans=a[1]%m[1],M=m[1];
    for (int i=2;i<=n;++i)
        ll gcd,x,y,c=(a[i]%m[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
        gcd=ex_gcd(M,m[i],x,y);
        if (c%gcd)  return -1;
        x=mul(x,c/gcd,m[i]/gcd);
        ll lm=M;
        M=M/gcd*m[i];
        ans=((ans+mul(x,lm,M)%M)%M+M)%M;
    
    return ans;

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