[高精度][数学] Jzoj P3771 小Z的烦恼

Posted 2021-02-04 comfortable

Description

小 Z 最近遇上了大麻烦，他的数学分析挂科了。于是他只好找数分老师求情。

善良的数分老师答应不挂他，但是要求小 Z 帮助他一起解决一个难题问题是这样的，现在有 n 个标号为 1～n 的球和 m 个盒子，每个球都可以放进且只能放进一个盒子里面，但是要满足如下的规则：

1.  若把标号为 i 的球放进了第 j 个盒子，那么标号为 2*i 的球一定要在第 j+1 个盒子里面(若 j<m)

2.  若把标号为 i 的球放进了第 j 个盒子，并且 k*2=i，那么标号为 k 的球一定要在第 j-1 个盒子里面(若 j>1)

小 Z 的数分老师想要知道，给定了 n 和 m 的时候，第一个盒子最多能放进去多少个球。事实上，他已经推算出了公式，但是需要检验当 n 趋向于无穷大时是否仍然满足这个公式，因此 n 可能会非常大。

 

Input

本题包含多组数据，第一行为一个数(T<=20)，表示数据组数；以下 T 行，每组数据一行，包括两个数 n 和 m。

Output

每组数据输出一行，包括一个数，即第一个盒子最多能放进多少个球。

 

Sample Input

2

10 2

10 3

Sample Output

4

1

 

 

Data Constraint

对于 10%的数据,n<=10^6

对于 20%的数据,n<=10^9

对于 30%的数据,m=2

对于 100%的数据,n<=10^10000,2<=m<=25

 

Hint

样例解释：

(1).{1,3,4,5}, {2,6,8,10}

(2).{1},{2},{4}

 

题解

• 题目大意：有n个球，m个格子，如果i格子放了x，那么i+1格子一定要放2*x，i-1格子一定要放x/2(整除)，问第一个格子里最多有多少个球
• 可以发现第一个格子的数应该满足

   

• 那么我们就可以每次将n除去2^m-1然后统计奇数个数，然后在一直除2^m再统计奇数个数直到n为0
• 总共的奇数个数就是答案

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 const ll N=1e4+10,mo=1e11;
 7 ll a[N],ans[N],b[N],n,t,k,len,x,y,z,m,T,num;
 8 char s[N];
 9 void chu(ll x)
10 {
11     ll r=0;
12     for (ll i=a[0];i>=1;i--) a[i]=r*mo+a[i],r=a[i]%x,a[i]/=x;
13     while (!a[a[0]]&&a[0]) a[0]--;
14 }
15 void count()
16 {
17     ll r=0;
18     for (ll i=a[0];i>=1;i--) ans[i]+=(r*mo+a[i])/2,r=a[i]%2;
19     r=max(ans[0],a[0]-1);
20     if (ans[r+1]) r++;
21     for (ll i=1;i<=r;i++) if (ans[i]>=mo) ans[i]-=mo,ans[i+1]++;
22     if (ans[r+1]) ans[0]=r+1; else if (ans[r]) ans[0]=r; else if (ans[r-1]) ans[0]=r-1;
23 }
24 int main()
25 {
26     scanf("%lld",&T); 
27     while (T--)
28     {
29         memset(a,0,sizeof(a)),memset(ans,0,sizeof(ans));
30         scanf("%s%lld",s+1,&m),len=strlen(s+1),k=1,n=1;
31         for (ll i=len;i>=1;i--)
32         {
33             a[n]+=(s[i]-48)*k,k*=10;
34             if (k==mo) k=1,n++;
35         }
36         a[0]=n,chu(1<<(m-1)),n=a[1]%2,count(),ans[1]+=n;
37         while (a[0]) chu(1<<m),n=a[1]%2,count(),ans[1]+=n;
38         if (!ans[0]) ans[0]=1;
39         printf("%lld",ans[ans[0]]);
40         for (ll i=ans[0]-1;i>=1;i--)
41         {
42             ll k=mo/10;
43             while (ans[i]<k&&k>0) printf("0"),k/=10;
44             printf("%lld",ans[i]);
45         }
46         printf("
");
47     }
48 }