[哈希][倍增] Jzoj P5856 01串

Posted 2021-01-06 comfortable

Description

某日，小 Q 得到了一种新的生成 01 串的代码
给定一个整数 Z，执行 n 次下列语句会得到一个 01 串
z=[(a*z+c)/k]%m;
if (z<m/2) return 0;else return 1;
现在小 Q 已经得到了某串 01 串，小 Q 想知道有多少个可能的不同的最初的 Z 可以生成这个
01 串。
 

 

Input

第一行五个整数 a, c, k, m, n。
第二行 n 个连续的 01 数字描述 01 串。
 

Output

一行一个整数表示答案
 

 

Sample Input

3 6 2 9 2
10
 

Sample Output

4
 

 

Data Constraint

对于 30%的数据，1<=n,m<=10^3
对于 60%的数据，1<=n<=10^3
对于 100%的数据，1<=n<=10^5，1<=m<=10^6，0<=a,c<=m，1<=k<=m

 

题解

• 考虑字符串哈希。 
• 设f[i][j]表示i为z的初始值,进行2^j次变化之后,得到的字符串的哈希值
  
• 设g[i][j]表示i为z的初始值,进行2^j次变化后,得到的数
  
• 这两个都是可以通过倍增得到，字符串的哈希值可以将两个字符串拼接得到
  
• 最后，枚举z，倍增判断是否合法

代码

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int mo=1000000007;
 4 int a,c,k,m,n,mx,ans,mi[1000010],f[1000010][17],g[1000010][17];
 5 char s[100010];
 6 int main()
 7 {
 8     freopen("zero.in","r",stdin);
 9     freopen("zero.out","w",stdout);
10     scanf("%d%d%d%d%d",&a,&c,&k,&m,&n);
11     scanf("%s",s+1);
12     mi[0]=2; for (int i=1;i<=16;i++) mi[i]=(long long)mi[i-1]*mi[i-1]%mo;
13     for (int i=1;i<=n;i++) mx=((long long)mx*2+s[i]-‘0‘)%mo;
14     for (int i=0;i<m;i++) 
15     {
16         int z=((long long)a*i+c)/k%m;
17         g[i][0]=z,f[i][0]=z<m/2?0:1;
18     }
19     for (int j=1;j<=16;j++)
20         for (int i=0;i<m;i++)
21         {
22             int z=g[i][j-1];
23             f[i][j]=((long long)f[i][j-1]*mi[j-1]+f[z][j-1])%mo;
24             g[i][j]=g[z][j-1];
25         }
26     for (int i=0;i<m;i++)
27     {
28         int t=i,l=0;
29         for (int j=n,u=0;j;j>>=1,u++)
30             if (j%2==1)
31             {
32                 l=((long long)l*mi[u]+f[t][u])%mo;
33                 t=g[t][u];
34             }
35         if (l==mx) ans++;
36     }
37     printf("%d",ans);
38     return 0;
39 }