Loj#6433「PKUSC2018」最大前缀和（状态压缩DP）

Posted 2021-02-04 water-mi

题面

Loj

题解

先转化题意，其实这题在乘了(n!)以后就变成了全排列中的最大前缀和的和（有点拗口）。(nleq20)，考虑状压(DP)

考虑一个最大前缀和(sumlimits_{i=1}^pa_i)，这个位置(p)是最大前缀和的右界当且仅当对于(forall r>p)有：(sumlimits_{i=p+1}^ra_ileq0)

设(sum_i)表示二进制状态(i)的代数和，方便转移

设(g_i)表示选了子集(i)后有多少种排列使得所有的前缀和都(<0)，于是有（从下转移而来）：
[ g[i] += g[i oplus (1 << j)] (sum[i]leq0,sum[ioplus(1<<j)]leq0) ]
设(f_i)表示选了子集(i)后有多少种排列使得最大前缀和(=sum_i)，于是有（向上转移）：
[ f[i | (1 << j)]+=f[i] (sum[i]>0) ]
则最后答案就是（(moplus i)表示(i)的补集）：
[ ans=sum_{iin S}sum_i imes f_i imes g_{moplus i} ]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
typedef long long ll;

template<typename T>
void read(T &x) {
    int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
}

const int N = 22, P = 998244353;
int n, m, a[1 << N], f[1 << N], g[1 << N], sum[1 << N], ret;
int lb(int x) { return x & -x; }

int main () {
    read(n), m = (1 << n) - 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i) read(a[1 << i]);
    for(int i = 0; i <= m; ++i)
        sum[i] = sum[i ^ lb(i)] + a[lb(i)];
    g[0] = 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i) f[1 << i] = 1;
    for(int i = 0; i <= m; ++i) {
        if(sum[i] <= 0) {
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if((1 << j) & i && sum[i ^ (1 << j)] <= 0)
                    (g[i] += g[i ^ (1 << j)]) %= P;
        } 
    }
    for(int i = 0; i <= m; ++i) {
        if(sum[i] > 0) {
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                if(!((1 << j) & i)) (f[i | (1 << j)] += f[i]) %= P;
        }
        (ret += 1ll * (sum[i] + P) % P * f[i] % P * g[m ^ i] % P) %= P;
    }
    printf("%d
", ret);
    return 0;
}