[PKUSC2018]最大前缀和
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[PKUSC2018]最大前缀和
题目大意:
有(n(nle20))个数(A_i(|A_i|le10^9))。求这(n)个数在随机打乱后最大前缀和的期望值与(n!)的积在模(998244353)意义下的值。其中最大前缀和的定义为(forall iin[1,n]sum_{j=1}^iA_j)的最大值。
思路:
考虑一个分界点(p),使得(sum A_{1sim p})为最大前缀和,那么显然(p)之后的所有前缀和均(<0),否则就存在可以替换(p)的方案使得前缀和更大。
用(sum[i])表示子集(i)的数值和,(f[i])表示最大前缀和为(sum[i])的方案数,(g[i])表示任意前缀和均为负的方案数。(f[i])和(g[i])均可以通过动态规划求得。最后答案即为(sum sum[S] imes f[S] imes g[overline S])。时间复杂度(mathcal O(2^nn))。
源代码:
#include<cstdio>
#include<cctype>
typedef long long int64;
inline int getint() {
register char ch;
register bool neg=false;
while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
register int x=ch^'0';
while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
return neg?-x:x;
}
const int N=20,mod=998244353;
int a[N],f[1<<N],g[1<<N];
int64 sum[1<<N];
int main() {
const int n=getint(),u=(1<<n)-1;
g[0]=1;
for(register int i=0;i<n;i++) {
f[1<<i]=1;
a[i]=getint();
for(register int s=0;s<1<<n;s++) {
if(s&(1<<i)) sum[s]+=a[i];
}
}
for(register int s=1;s<1<<n;s++) {
if(sum[s]>0) {
for(register int i=0;i<n;i++) {
if(!(s&(1<<i))) {
(f[s|(1<<i)]+=f[s])%=mod;
}
}
} else {
for(register int i=0;i<n;i++) {
if(s&(1<<i)) {
(g[s]+=g[s^(1<<i)])%=mod;
}
}
}
}
int ans=0;
for(register int i=1;i<1<<n;i++) {
(ans+=(int64)sum[i]*f[i]%mod*g[u^i]%mod)%=mod;
}
printf("%d
",(ans+mod)%mod);
return 0;
}
以上是关于[PKUSC2018]最大前缀和的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
loj#6433. 「PKUSC2018」最大前缀和(状压dp)
Loj#6433「PKUSC2018」最大前缀和(状态压缩DP)