Loj 6433. 「PKUSC2018」最大前缀和 （状压dp）

Posted 2021-02-04 zzy2005

题面

Loj

题解

感觉挺难的啊～

状压(dp)

首先，有一个性质

对于一个序列的最大前缀和(sum_{i=1}^{p} A[i])

显然对于每个(sum_{i=p+1}^{x}A[i](p+1 leq x leq n)<0)

我们可以以(p)分成两个集合

(nleq 20)
所以状压一下

(sum[i])表示当前状态表示的和
(f[i])表示用当前状态的数,组成最大前缀和为(sum[i])的方案数
(g[i])表示当前状态的数，组成的序列，每个前缀和都(<=0)

怎么转移呢？

考虑(g)的转移：

如果(sum[S|(1<<i)] <= 0)
那么(g[s|(1<<i)] += g[S])
显然把(A[i])放在序列末尾，也满足条件。。

考虑(f)的转移：

如果(sum[S] > 0)
那么(sum[S] += sum[S-(1<<j)](j in S))
把(A[i])放在序列首，满足条件

然后 (ans = f[S] * g[S'] * sum[S])

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long
#define RG register

using namespace std;
template<class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; RG char c = getchar(); bool f = 0;
    while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar(); if (c == '-') c = getchar(), f = 1;
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x*10+c-48, c = getchar();
    x = f ? -x : x;
    return ;
}
template<class T> inline void write(T x) {
    if (!x) {putchar(48);return ;}
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    int len = -1, z[20]; while (x > 0) z[++len] = x%10, x /= 10;
    for (RG int i = len; i >= 0; i--) putchar(z[i]+48);return ;
}

const int N = 21, Mod = 998244353;

int a[N], f[1<<N], g[1<<N], num[1<<N], sum[1<<N];

#define lowbit(x) (x&(-x))

template<class T> inline void Add(T &x, T y) {x += y; if (x >= Mod) x -= Mod;}

int main() {
    int n;
    read(n);
    int limit = 1<<n;
    for (int i = 0; i < n; i++) read(a[i]), num[1<<i] = a[i];
    for (int i = 0; i < limit; i++)
        sum[i] = (sum[i^lowbit(i)] + num[lowbit(i)]) % Mod;
    g[0] = 1;
    for (int S = 0; S < limit; S++)
        if (sum[S] <= 0)
            for (int i = 0; i < n; i++)
                if ((S >> i) & 1)
                    Add(g[S], g[S^(1<<i)]);
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        f[1<<i] = 1;
    for (int S = 0; S < limit; S++) {
        if (sum[S] > 0)
            for (int i = 0; i < n; i++)
                if (!((S >> i) & 1))
                    Add(f[S|(1<<i)], f[S]);
        Add(ans, 1ll * f[S] * g[(limit-1)^S] % Mod * (sum[S]+Mod) % Mod);
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}