向量点积和叉积(向量积)

Posted 2023-03-14

参考技术A 向量点乘：（内积）

点乘（Dot Product） 的结果是 点积 ，又称 数量积 或 标量积 （Scalar Product）。

在空间中有两个向量： 

 ， 

， 

 与 

之间夹角为 

。

从代数角度看，点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。

从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

几何意义：

点乘的结果表示 

 在 

 方向上的 投影 与 

 的乘积，反映了两个向量的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：

则方向基本相同，夹角在0°到90°之间

则正交，相互垂直

则方向基本相反，夹角在90°到180°之间

点乘代数定义推导几何定义：（常用来求向量夹角）

设 

 终点为 

 ， 

 的终点为

 ,原点为 

 ，则 

在 

 中，由 余弦定理 得：

使用距离公式进行处理，可得：

去括号后合并，可得：

根据上面的工式可计算 

 与 

 之间的夹角： 

向量叉乘：（外积）

叉乘（Cross Product） 又称 向量积 （Vector Product）。

在空间中有两个向量： 

 ， 

， 

 与 

之间夹角为 

。

从代数角度计算：

从几何角度计算：( 

 为 

 与 

 所构成平面的单位向量)

其运算结果是一个向量，并且与这两个向量都 垂直 ，是这两个向量所在平面的 法线向量 。使用右手定则确定其方向。

几何意义：

如果以向量

 和

为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。