向量点积和叉积(向量积)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了向量点积和叉积(向量积)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
参考技术A 向量点乘:(内积)点乘(Dot Product) 的结果是 点积 ,又称 数量积 或 标量积 (Scalar Product)。
在空间中有两个向量:
,
,
与
之间夹角为
。
从代数角度看,点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作,其结果即为点积。
从几何角度看,点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。
几何意义:
点乘的结果表示
在
方向上的 投影 与
的乘积,反映了两个向量的相似度,结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向,是否正交垂直,具体对应关系为:
则方向基本相同,夹角在0°到90°之间
则正交,相互垂直
则方向基本相反,夹角在90°到180°之间
点乘代数定义推导几何定义:(常用来求向量夹角)
设
终点为
,
的终点为
,原点为
,则
在
中,由 余弦定理 得:
使用距离公式进行处理,可得:
去括号后合并,可得:
根据上面的工式可计算
与
之间的夹角:
向量叉乘:(外积)
叉乘(Cross Product) 又称 向量积 (Vector Product)。
在空间中有两个向量:
,
,
与
之间夹角为
。
从代数角度计算:
从几何角度计算:(
为
与
所构成平面的单位向量)
其运算结果是一个向量,并且与这两个向量都 垂直 ,是这两个向量所在平面的 法线向量 。使用右手定则确定其方向。
几何意义:
如果以向量
和
为边构成一个平行四边形,那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。
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