向量点积和叉积(向量积)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了向量点积和叉积(向量积)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考技术A 向量点乘:(内积)

点乘(Dot Product) 的结果是 点积 ,又称 数量积 或 标量积 (Scalar Product)。

在空间中有两个向量: 

 , 

, 

 与 

之间夹角为 



从代数角度看,点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作,其结果即为点积。

从几何角度看,点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

几何意义:

点乘的结果表示 

 在 

 方向上的 投影 与 

 的乘积,反映了两个向量的相似度,结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向,是否正交垂直,具体对应关系为:

则方向基本相同,夹角在0°到90°之间

则正交,相互垂直

则方向基本相反,夹角在90°到180°之间

点乘代数定义推导几何定义:(常用来求向量夹角)

设 

 终点为 

 , 

 的终点为

 ,原点为 

 ,则 

在 

 中,由 余弦定理 得:

使用距离公式进行处理,可得:

去括号后合并,可得:

根据上面的工式可计算 

 与 

 之间的夹角: 

向量叉乘:(外积)

叉乘(Cross Product) 又称 向量积 (Vector Product)。

在空间中有两个向量: 

 , 

, 

 与 

之间夹角为 



从代数角度计算:

从几何角度计算:( 

 为 

 与 

 所构成平面的单位向量)

其运算结果是一个向量,并且与这两个向量都 垂直 ,是这两个向量所在平面的 法线向量 。使用右手定则确定其方向。

几何意义:

如果以向量

 和

为边构成一个平行四边形,那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

以上是关于向量点积和叉积(向量积)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

向量的点积和叉积

关于向量点积和叉积的回顾和总结

二维图形变换

Python Numpy中的几个矩阵乘法

二维坐标系中的点积叉积多边形面积

转:点积&叉积