威尔逊定理及证明

Posted 2021-02-02 stddddd

给威尔逊爵士跪了！！！

1、内容

首先，介绍一下什么是威尔逊定理：

　　1、p为素数。

　　2、(p-1)! ≡ -1 (mod p)。

有1和2互为充要条件。

2、证明

就证明1为2的充分条件吧。

定义集合A={2,3,4,......,p-2}，如果对于A中每一个元素a，均存在A中另一个元素b，使得ab ≡ 1 (mod p)，且a不同时，b一定不同，则命题一定成立。

先证对于A中每一个元素a，均存在A中另一个元素b，使得ab ≡ 1 (mod p)。首先，显然1 ≤ b ≤ p-1。然后，假设b == 1，则ab = a ≠ 1，不成立；再假设b == p-1，则ab = a*(p-1) = ap-a ≡ p-a (mod p)，若p-a == 1的话，须满足a == p-1，不成立。得证。

再证不同的a对应的b不相同。假设存在两个不同的a对应的b相同，再假设这两个a分别为a1，a2(a1 < a2)。则有(a2-a1)*b ≡ 0 (mod p)。而(a2-a1)、b均小于p且p为素数，故显然不成立。