威尔逊定理及其证明

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威尔逊定理及其证明

一.什么是威尔逊定理

? 威尔逊定理是指对于一个质数P来说,有
[ (p-1)^2equiv-1(mod;p) ]
且对于这个定理成立的数一定是质数,即“p为质数”和威尔逊定理互为充分必要条件。于是通过这个性质我们可以构造一下质数分布的函数曲线(结合sin函数的性质)
[ f(n)=sin(pi*((n-1)!+1)/n) ]
当函数值为0时,就可以得出一个质数(是不是很鸡肋)。

由于充分必要条件我们当然也可以用这个来判断质数,不过不好用就对了。

二.证明威尔逊定理

首先我们将等式两边同时除以一个-1(-1必然与p互质),接下来要证明
[ (p-2)^2equiv1(mod;p) ]
对这个东西完全没有头绪呢~,那么考虑一下比较简单的情况。
[ axequiv1(mod;p) ]
这个东西就很简单,当x是a的逆元就好。再回到威尔逊定理,很显然,对于p=2的时候,威尔逊定理成立。那么除了2以外的质数应该全是奇数,p-2也应该全是奇数才对。又有1的逆元是1,所以把1踢出去,也就是说剩下的偶数个数的数如果可以两两对应,乘积mod p=1威尔逊定理就整出来了。

那么很显然的,对于a,他的逆元(a^{-1}),是一定可以在2~p-2范围里的(p-1是p-1的逆元),很显然,除了1和p-1没有哪个憨憨数字自己是自己的逆元。(可以打表一试)

那么现在只有一个问题了,逆元是不是双射关系呢~,答案是当然的。(因为逆元相当于是在模意义下倒数,又限制了只能取2~p-1,一个数的逆元在这个条件下就肯定只有一个,并且形成双射关系。)因为定义是这么写的。
技术图片
(摘自360百科)

三.一句话证明

逆元的性质决定了一个数和它的逆元一一对应,2~p-2之间必然被(frac{p-1}{2})个互为逆元的数对完全覆盖,1的逆元是1,故威尔逊定理成立。

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