minimax定理证明

Posted 2023-03-30 MatrixCancer

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• 证明minimax定理概述
  • 主要使用布劳威尔不动点定理
  • 主要使用哈恩-巴拿赫定理
  • 主要使用海涅-博雷尔定理
• 参考文献

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#minimax定理成立与纳什均衡的等价性

选取 $p^{\ast }$ 使得 $\underset{q}{\min }U(p^{\ast },q)=\underset{p}{\max }\underset{q}{\min }U(p,q)$
选取 $q^{\ast }$ 使得 $\underset{p}{\max }U(p,q^{\ast })=\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }U(p,q)$

$\underset{p}{\max }\underset{q}{\min }U(p,q)=\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }U(p,q)⟹\text{MNE}$

由于 $\underset{p}{\max }\underset{q}{\min }U(p,q)=\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }U(p,q)$
因此 $\underset{q}{\min }U(p^{\ast },q)=\underset{p}{\max }U(p,q^{\ast })$

• 由于 $\forall p\in {\Delta }_p$, $U(p,q^{\ast })⩽\underset{p}{\max }U(p,q^{\ast })=\underset{q}{\min }U(p^{\ast },q)⩽U(p^{\ast },q^{\ast })$
  因此 $p^{\ast }$ 是 $q^{\ast }$ 的最优反应

• 由于 $\forall q\in {\Delta }_q$, $U(p^{\ast },q)⩾\underset{q}{\min }U(p^{\ast },q)=\underset{p}{\max }U(p,q^{\ast })⩾U(p^{\ast },q^{\ast })$
  因此 $q^{\ast }$ 是 $p^{\ast }$ 的最优反应

因此 $(p^{\ast },q^{\ast })$ 构成纳什均衡.

$\underset{p}{\max }\underset{q}{\min }U(p,q)=\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }U(p,q)⟸\text{MNE}$

由于 $U(p,q)⩽\underset{p}{\max }U(p,q)$
所以 $\underset{q}{\min }U(p,q)⩽\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }U(p,q)$
进而 $\underset{p}{\max }\underset{q}{\min }U(p,q)⩽\underset{q}{\min }\underset{p}{\max }$

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