@bzoj - 2654@ tree

Posted 2021-01-31 tiw-air-oao

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给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 need 条白色边的生成树。
题目保证有解。

input
第一行V, E, need分别表示点数，边数和需要的白色边数。
接下来 E 行,每行 s, t, c, col 表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色，1黑色)。
output
一行表示所求生成树的边权和。
V <= 50000, E<=100000, 所有数据边权为[1, 100]中的正整数。

sample Input
2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0
sample output
2

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dp 凸优化的起源……尽管这道题并不是 dp……
事实上这个算法有三个名字：WQS 二分，dp 凸优化，带权二分。
大家可以去看看这一位 dalao 的博客。

@part - [email protected]

一个直观的想法是，我们先用 K 条白边生成一棵最小生成树，再把黑边加进去。
然而好像是能被卡掉的。所以我们不能这么搞。

那怎么去限制白边数量呢？我们给每条白边二分一个附加权值，再生成最小生成树，求出白边数量调整二分。
可以从直观上感性理解：假如这个附加权值越大，则我们选取的白边会越少，反之会越大。因此附加权值与白边数量的关系是单调的，我们就可以玩二分了。

最后从这个生成树中减去附加权值即可。

@part - [email protected]

然而这个算法……看起来并不是很严谨啊。
会不会出现一种情况：二分的附加权值稍稍大一点白边数量就不够，二分的附加权值稍稍小一点白边数量又多出来了。总之就是二分不到题目说的 K 条。
以及：这个附加权值可以为小数吗？我二分需要管它的精度问题吗？

好的。我们慢慢来。
先定义一个函数 (f(x)) 表示当我选取 (x) 条白边的时候，求得的最小生成树权值。
经过 dalao 们的打表严格证明，我们可以得到 (f(x)) 是下凸函数。
并且，我们也可以求出 (f(x)) 的最小值（原图中的最小生成树）。

好，我们再来看我们刚刚的算法干了什么。我们二分了一个附加权值 (k)，并把所有白边都加上了这个附加权值，得到一个新函数 (g(x) = f(x)+k*x)。
然后我们找到这个新函数的最小值（新图中的最小生成树）。求出它对应的横坐标（生成树所含的白边数量），并以此调整二分。

上面我所提到的那位 dalao 提出了一种理解该算法的方法：我们对 (f(x)) 与 (g(x)) 分别求导，得到 (f‘(x)) 与 (g‘(x))。
因为 (f(x)) 是下凸的，所以 (f‘(x)) 是单增的，同时 (f‘(x)) 的零点对应着 (f(x)) 的最小值。
可以得到 (g‘(x) = f‘(x) + k)，即将 (f‘(x)) 平移 (k) 个单位。这样就可以说明该算法的正确性了。
同时，因为 (f(x)) 上的点都是整数，所以 (f‘(x)) 上的点也应该都是整数，所以我们不需要进行小数二分。

@accepted [email protected]

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 50000;
struct edge{
    int u, v, w;
    edge(int _u=0, int _v=0, int _w=0):u(_u), v(_v), w(_w){}
};
bool operator < (edge a, edge b) {
    return a.w < b.w;
} 
vector<edge>edges[2];
void init() {
    for(int i=0;i<2;i++)
        edges[i].clear();
}
int fa[MAXN + 5];
int find(int x) {
    return (fa[x] == x) ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
int N, M, K, ans, cnt, p, q;
bool check(int x) {
    ans = cnt = p = q = 0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        fa[i] = i;
    while( p < edges[0].size() && q < edges[1].size() ) {
        if( find(edges[0][p].u) == find(edges[0][p].v) )
            p++;
        else if( find(edges[1][q].u) == find(edges[1][q].v) )
            q++;
        else {
            if( edges[0][p].w + x < edges[1][q].w ) {
                ans += edges[0][p].w + x;
                fa[find(edges[0][p].u)] = find(edges[0][p].v);
                cnt++; p++;
            }
            else {
                ans += edges[1][q].w;
                fa[find(edges[1][q].u)] = find(edges[1][q].v);
                q++;
            }
        }
    }
    while( p < edges[0].size() ) {
        if( find(edges[0][p].u) == find(edges[0][p].v) )
            p++;
        else {
            ans += edges[0][p].w + x;
            fa[find(edges[0][p].u)] = find(edges[0][p].v);
            cnt++; p++;
        }
    }
    while( q < edges[1].size() ) {
        if( find(edges[1][q].u) == find(edges[1][q].v) )
            q++;
        else {
            ans += edges[1][q].w;
            fa[find(edges[1][q].u)] = find(edges[1][q].v);
            q++;
        }
    }
    return cnt <= K;
}
int main() {
    init();
    scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);
    for(int i=1;i<=M;i++) {
        int a, b, c, x;
        scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &x);
        edges[x].push_back(edge(a + 1, b + 1, c));
    }
    for(int i=0;i<2;i++)
        sort(edges[i].begin(), edges[i].end());
    int le = -100, ri = 100;
    while( le < ri ) {
        int mid = (le + ri) >> 1;
        if( check(mid) ) ri = mid;
        else le = mid + 1;
    }
    check(le);
    printf("%d
", ans - K*le);
}

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事实证明，这道题 bzoj 的数据非常的水。
我带权二分的时候连那个二分出来的附加权值都没有加到边权里去。
然后在 bzoj 上它竟然 AC 了？

建议大家如果要检测自己代码的正确性，去 hdu4253 （需要写多组数据）。
否则你连自己代码有错都不知道，一懵一懵地好像自己就 AC 了。